加速器物理中非线性动力学指南/非线性运动

简介

本章提供工具来描述粒子的非线性运动。我们专注于圆形机器的情况。这意味着我们希望了解粒子在多次转动后的行为。

机器的局部和全局表示以及模型构建和分析的价值

机器由磁体和腔体组成，它们具有相应的电场和磁场。这些场中的动力学可以用哈密顿量 H(s) 来描述。跟踪代码将通过哈密顿量来积分粒子。

在这一背景下，构建非线性动力学领域有两种方法。一种方法是从各种简单模型开始，例如常数哈密顿量、单圈映射的各种简化表示或简化的 s 相关哈密顿量。这些模型的特点被抽象出来，并用于构建描述这些现象的语言。当需要真实的模拟时，使用跟踪代码，并根据简化模型分析所产生的现象。可以改变参数以改善感兴趣的量，例如相空间形状、扩散到较大振幅的速度或分界线的位。结果在跟踪代码中进行检查，但分析基于简化模型。

第二种方法涉及对真实模型进行更直接的分析。这里分析了完整的 s 相关哈密顿量或单圈映射的表示。由于磁体的离散性质和环形晶格的复杂性，对单圈映射的分析可能更简单。该单圈映射可以用截断的幂级数表示，或者用 Dragt-Finn 因子化的李算子形式表示，或者可能是其他李算子形式。

第一种方法的优势在于使用的模型更简单，更容易与其他物理系统相关联。这建立了直觉，并提供了与其他领域和物理系统（如摆、非谐振子、踢转子或绕轨道运行的行星和恒星）的联系。这些都是非线性动力学已进行大量数学分析的系统。KAM 定理、Nekhoroshev 定理、Chirikov 准则以及许多其他分析都将简化的系统作为起点，这些系统并没有直接描述圆形加速器中的非线性动力学，但它们足够接近，以至于我们可以期待找到许多相似之处，并使用这些定理和理论体系作为我们遇到的现象的指南。跟踪代码。这种方法的主要缺点是它通常会导致定性结果而不是定量结果。

第二种方法是直接使用适用于整个系统的复杂性的技术。这种方法意味着职责分离。计算系统的映射是一项工作，而分析则是完全不同的工作。这种方法在两端都缺乏发展。在映射计算方面，现有的代码难以使用且没有很好的文档。在映射分析方面，算法在全面性上很难理解，并且也存在一些缺乏清晰解释的情况。尽管在这个方向上进一步发展是可取的，但它实际上需要做的不仅仅是开发局部和全局算法。它还需要建立物理直觉以及与其他领域和物理系统的联系。这更像是粒子物理的 S 矩阵方法。S 矩阵的分析和通过费曼图或其他任何技术进行的计算是某种程度上独立的研究。也可以将其与凝聚态物理学中的散射理论联系起来。系统是用输入和输出建模的。建立这种联系并强调这一点的原因是为了说明应该知道从全局方法中想要计算什么。在加速器物理学中，范式算法，据说是映射分析的典范和框架，缺乏清晰定义的量。在进入范式细节之前，应该清楚地了解要计算什么。这里，需要更好地理解可积和不可积之间的区别。如果用一个可积系统来近似一个系统，那么对于所有初始条件来说，都会存在调谐。范式算法的任务是计算这些调谐。

常数哈密顿模型及其分析

这里我们考虑二维相空间，并考虑一个常数哈密顿量 H(x,p)。例如，我们考虑

H(x,p)={\frac {\mu }{2}}(x^{2}+p^{2})+\epsilon x^{4}

哈密顿方程由下式给出

{\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\mu p

{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\mu x-4\epsilon x^{3}

简单映射模型及其分析

映射可以用多种形式表示。一种方法是使用李算子。一个简单的例子是相空间旋转，然后是八极踢-

e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}e^{\epsilon :x^{4}:}

TPSA 李代数标准型工具

这里我们将描述如何将映射转换为提取有用量的工具。我们首先将讨论限制在非共振情况下。在这种情况下，标准型算法的整个目标只是为了找到振幅随调谐的变化。有时这需要在幂级数和李算子或微分算子形式之间来回转换。一个初步的目标是比较以下文献中描述的算法：

E. Forest, M. Berz, J. Irwin, “用于复杂周期性系统的标准型方法”
"使用微分代数和李算子的完整解决方案。" 粒子加速器，24-91, 1989

以及

M. Berz, "标准型理论的微分代数公式化", http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.46.6663

在第二篇文献中，作者声称不需要李算子。尽管这些文献侧重于使用映射的幂级数表示，但我们也可以将它们与简单情况下的紧凑李表示进行比较。

具有李映射的标准型

我们希望转换以下映射，以便我们能够提取振幅随调谐的变化

M=e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}e^{\epsilon :x^{4}:}\equiv Re^{-\epsilon :x^{4}:}

我们通过应用以下变换进行转换：

e^{:F:}Re^{\epsilon :x^{4}:}e^{-:F:}=RR^{-1}e^{:F:}Re^{\epsilon :x^{4}:}e^{-:F:}

=Re^{:R^{-1}F+\epsilon x^{4}-F:+O(\epsilon ^{2})}

现在我们选择 F 来简化

(R^{-1}-1)F+\epsilon x^{4}

为此，我们用 R 的特征函数展开 $x^{4}$

Rh_{\pm }=e^{\pm i\mu }h_{\pm }

这里，由于 R 仅仅是旋转，我们有

h_{\pm }=x\mp ip

因此，

x={\frac {1}{2}}(h_{+}+h_{-}),\ \ \ p={\frac {i}{2}}(h_{+}-h_{-})

所以

x^{4}=(h_{+}+h_{-})^{4}=h_{+}^{4}+4h_{+}^{3}h_{+}+6h_{+}^{2}h_{-}^{2}+3h_{+}h_{-}^{3}+h_{-}^{4}

现在，中间项是包含幅度项的调谐位移。我们可以通过设置以下条件来移除其他所有项：

F={\frac {1}{16}}\left({\frac {h_{+}^{4}}{1-e^{4i\mu }}}+4{\frac {h_{+}^{3}h_{-}}{1-e^{2i\mu }}}+4{\frac {h_{+}h_{-}^{3}}{1-e^{-2i\mu }}}+{\frac {h_{-}^{4}}{1-e^{-4i\mu }}}\right)

多项式映射与向量场之间的联系

假设我们有一个接近恒等的多项式映射。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\p_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}+f(x_{0},p_{0})\\p_{0}+g(x_{0},p_{0})\end{pmatrix}}$

那么与该映射相关的向量场为

$f\partial _{x}+g\partial _{p}$

使用映射的标准形式

我们使用以下符号：

如果 $A$ 是一个数组， $A[i]$ 是数组的第 $i$ 个元素。
一个数组可以用整数或整数数组索引。
$x=(x_{1},...,x_{k},...)$ 是相空间中的一个点，
映射 $M:x\to M(x)$ 被表示为一组多项式数组 $x_{i}\to T[i](x)$ ，对于每一个 $i$ 。
一个多项式 f 被表示为系数数组，索引由指数数组标识，即 $f=\sum _{j}f[j]\prod _{k}x_{k}^{j[k]}$
$j$ 是一个整数向量，用于识别单项式，而 f[j] 是一个实数或复数，通常是单项式的系数。 $j$ 的元素数量等于相空间的维数。
$j[k]$ 是一个整数。它给出单项式中 $x_{k}$ 变量的幂。
单项式的阶为 $\sum _{k}j[k]$ 。
多项式的阶由其单项式的最大阶定义。
映射的阶由其多项式的最大阶定义。
一般来说，映射完全由所有 $T[i][j]$ 识别，因此数组数组 $T$ 可以与映射相关联。

我们可以为映射定义几种运算。

"作用于点" $()$ ，即 $x_{i}\to \sum _{j}T[i][j]\prod _{k}x_{k}^{j[k]}$ 。
"作用于映射"，通过组合各个多项式将两个映射组合成另一个映射。我们使用相同的符号。

$M(A)=C$ 如果 $C(x)=M(A(x))\quad \forall x$ 。

"求和" ( $+$ ): 它通过对多项式数组的元素逐个相加来得到。
"乘法" 由 $(MA)(x)=A(M(x))\quad \forall x$ 定义。
我们也可以写成 M f，其中 f 是一个多项式，表示 $(Mf)(x)=f(M(x))\quad \forall x$ 。

现在我们可以描述标准型算法。

令

$E$ 恒等映射，
$R$ 线性映射，
$S,T$ 阶数为 $m$ 的映射，
$O$ 阶数大于 $m$ 的映射，
$M=R+S$
$A=E+T$

则

$AMA^{-1}=(E+T)(R+S)(E-T+O)=(E+T)(R+S-RT+O)=R+S+TR-RT+O.$

因此，通过仔细选择 $T$ ，我们可以消除 $S$ 中一些阶数为 $m$ 的项。

现在我们尝试求解方程 $G=RT-TR$ 中的 $T$ ，其中 $G$ 是一个包含 $R+S$ 中不需要的项的映射。

如果 $R$ 具有特征向量 $\lambda _{k}$ 和特征函数 $l_{k}=\sum _{n}L[k][n]x_{n}$ ，其中 $L$ 是对角化 $R$ 的线性映射，那么

$Rl_{k}=l_{k}(R)=\lambda _{k}l_{k}$
$l_{k}R=R(l_{k})=\lambda _{k}l_{k}$ .

$T$ 和 $G$ 可以用变量 $l_{k}$ 上的多项式表示

$T[i]=\sum _{j}T_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$
$G[i]=\sum _{j}G_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$

总结一下，用这种表示法

$T_{R}[i][j]$ 是一个复数，它是映射 $T_{R}$ 的第 $i$ 个函数中单项式 $j$ 的系数。
$T_{R}$ 表示在基底 $l_{k}$ 上的映射。
$l_{k}$ 要么是形式变量，要么是 $x_{n}$ 的线性函数。 $l_{k}$ 的集合表示一个将 $R$ 对角化的映射。

使用

$R\prod _{k}l_{k}^{j[k]}=\prod _{k}\lambda _{k}^{j[k]}l_{k}^{j[k]}$
$(T_{R}R)[i]=(R(T_{R}))[i]=\sum _{j}\lambda _{i}T_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$
$(RT_{R})[i][j]=((T_{R}(R)))[i][j]=T_{R}[i][j]\lambda _{k}^{j[k]}l_{k}^{j[k]}$
$G_{R}[i][j]=\left(\prod _{k}\lambda _{k}^{j[k]}-\lambda _{i}\right)T_{R}[i][j]$