加速器物理/跟踪中的非线性动力学指南

本章提供了用于描述用于查找跟踪粒子在电磁场中运动的映射的工具。

介绍

在加速器物理学中，有几种跟踪粒子的方法。每个方法都有不同的目标，需要其自己的近似方法。以下是一种可能的分类。

涉及的物理学

在演化过程中，粒子经历以下物理过程

衰变或非弹性散射

自发或由与其他粒子的非常小规模的相互作用触发。使用基于量子场论的概率模型传播粒子。

弹性散射

高能粒子与其他粒子之间的小规模相互作用，不涉及衰变。与非弹性散射一样，粒子使用基于量子场论的概率模型进行传播。弹性散射的一个特例是同步辐射，它可能使用也可能不使用概率模型或近似统计定律。所使用的近似值通常是忽略不太可能的项，简化运动。

电磁场

由于粒子与电磁场的相互作用而引起的传播，电磁场可以是外部的，也可以是由两个或多个粒子产生的。

模拟目标

事件生成

用于描述在碰撞后可能产生哪种粒子

在高能粒子与另一个高能粒子之间的

粒子对撞机或固定靶实验中的低能粒子之间。

所使用的近似值是忽略时空的扩展。

代码是dmjet, pythia.

粒子物质相互作用

用于计算探测器的效率，

沉积的能量，某些设备的辐射损伤。

代码是geant, mars, fluka.

短期分析（一圈）

用于计算或近似束包络，

运动的不变量和周期结构的扰动项。研究对象

是运动方程的显式形式，而不是粒子的轨迹，

即使轨迹可能用于计算或近似运动方程。物质相互作用和集体效应通常不包括在内。

代码是mad, ptc, tracy.

束损失的短期模拟

用于计算束中粒子分布尾部的粒子轨迹。这些粒子通常是实验中损失或背景噪声的来源。在这些模拟中通常需要数百圈。运动是准确的，但与物质的相互作用非常简化。

代码是sixtrack.

集体不稳定性的短期模拟

用于计算由于粒子与自身（直接空间电荷）或与附近的金属表面（阻抗，间接空间电荷）的相互作用而引起的一束粒子的短期稳定性。运动是准确的，但方程的辛性不准确。由于问题的维数高，这是一个不可避免的近似值。

代码是orbit, elegant,headtail, warp.

长期模拟

用于评估圆形环中由于小的非线性扰动而引起的运动的长期稳定性。通常需要数千（电子）或数百万（强子）圈才能找到结果。长期模拟要么作为机器缺陷影响的直接评估工具，要么作为扰动方法的基准（一圈映射分析、频率映射、调谐足迹、调谐或作用扩散）。所使用的近似值与短期分析共享。

代码是sixtrack,teapot.

以下我们将重点关注短期分析和长期模拟的跟踪，这些模拟共享保持方程的数学结构精确的必要性。

离散跟踪

本节的目的是研究如何在不影响运动方程结构的情况下，求解单个粒子在一般电磁场中的运动。

如果电磁场可以很容易地用占据明确定义的非重叠区域的不连续向量场来近似，则可以采用离散步骤的组合来解决跟踪问题。每个步骤是运动方程在区域边界之间的精确解。区域类型可能是

• 由一个表面定义的零体积区域
• 由两个平行平面表面包围的区域
• 由两个不平行的平面表面包围的区域
• 由一般表面包围的区域。

该程序是找出哪种类型的场和区域允许精确地求解运动，以及如何找到那些近似真实场的场和区域。

运动方程

真空中的粒子具有四个自由度和静止质量，因此可以用以下量来识别

${\vec {x}}=(x,y,z,t)\qquad {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z},p_{t})\quad m$

分别是位置和机械动量。静止质量守恒意味着

$m^{2}c^{2}=p_{t}^{2}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}$.

最小作用原理以及空间的各向同性和时间的均匀性意味着

$\partial _{t}{\vec {x}}=\partial _{\vec {p}}H$

$\partial _{t}{\vec {p}}=-\partial _{\vec {x}}H$

对于任何 $t$，其中 $H=p_{t}$.

除了 $t,x,y,z$，$p_{t},p_{x},p_{y},p_{z}$ 也可以使用。运动的解是直线。

对于电磁场 ${\vec {A}}({\vec {x}})=(-\phi ({\vec {x}}),A_{x}({\vec {x}}),A_{y}({\vec {x}}),A_{z}({\vec {x}}))$，如果希望保持运动方程相同的结构，需要将 ${\vec {p}}$ 替换为 ${\vec {P}}={\vec {p}}-q{\vec {A}}$，其中 $q$ 是粒子的电荷。

在一般情况下，运动方程在有界区域内无法精确求解。可解的情况是

漂移类型

哈密顿量仅依赖于 ${\vec {p}}$。映射是

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+\partial _{\vec {p}}H\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$.

一个特殊情况是在平行平面边界区域没有场。映射为

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+{\frac {t_{f}}{m}}{\vec {p}}\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$

$t_{f}$ 是飞行时间，它不依赖于 ${\vec {x}}$，因为平行边界。假设粒子位于一个面上，如果相对面距离为 $d$，那么 $t_{f}={\frac {md}{p_{z}}}$

踢击类型

零体积表面，无限场。运动是动量的变化，而不是坐标的变化

${\vec {x}}\to {\vec {x}}\qquad {\vec {p}}_{x}\to {\vec {p}}_{x}+{\vec {f}}({\vec {x}})$

自由场区域（待验证的猜想）

如果区域没有场并且定义为

$f({\vec {x}})=0$

以及如果 $f({\vec {x}}+t_{f}{\frac {\vec {p}}{m}})=0$

可以解出 $t_{f}$。映射为

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+{\frac {t_{f}}{m}}{\vec {p}}\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$

精确地说，由构造得到的映射（可能包含无穷项）应该是辛的。

均匀类型（待验证的猜想）

平行边界上的均匀电磁场。例如理想偶极磁体或螺线管磁体。

由于运动可以精确确定，因此由构造得到的映射（可能包含无穷项）应该是辛的。

派生类型

如果存在一个规范变换 $T$，它将场和区域带到上述形式，则映射 $TST^{-1}$

其中 $S$ 是上述类型之一的映射，准确地解决了运动。例如，扇形弯曲磁体，其中规范变换将坐标系转换为圆柱坐标（并可能取消弯曲场），然后再返回。

辛积分器

如果哈密顿量是可解部分的总和 $H=H_{1}+H_{2}+\ldots$，可以构建近似模型，形式为一系列区域，使得 $\prod \exp(c_{i}:H_{j}:)=\exp(:H:+O(n))$。一个特例是“踢漂移近似”或广义吉田辛积分器。

辐射的包含

当追踪单个带电粒子穿过磁场时，如果它加速，它将发射辐射。这在追踪电子时尤其重要。实际上，辐射的影响通常被分成两个不同的部分：一个确定性的能量损失，以及由出射电磁场（光子）量子化导致的随机部分。

首先，我们描述确定性部分。我们使用高能近似，其中能量和动量通过 E=P/c 相关。带电粒子在磁场中辐射的功率由 $P_{\gamma }={\frac {e^{2}c^{3}}{2\pi }}C_{\gamma }E^{2}B^{2}\$给出，其中 $C_{\gamma }={\frac {4\pi }{3}}{\frac {r_{e}}{(mc^{2})^{3}}}=8.85\times 10^{-5}{\frac {m}{GeV^{3}}}$。现在，假设在辛积分器中，我们穿过一段长度为 L 的磁场区域。事实上，这段区域的长度将取决于粒子的初始坐标。该区域的长度由 $L^{*}=L(1+{\frac {x}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(x'^{2}+y'^{2}))$给出。现在，在许多代码中，磁场由 $B\rho$归一化，以便积分常数项无量纲。定义 ${\bar {B}}={\frac {B}{B\rho }}$。利用关系 $B\rho ={\frac {E}{ec}}$，可以发现能量偏差的变化由 $\delta =\delta _{0}-C_{r}(1+\delta _{0})^{2}{\bar {B}}_{\perp }^{2}L^{*}$给出，其中 $C_{r}=C_{\gamma }{\frac {E^{3}}{2\pi }}$。这是例如 Accelerator Toolbox 和 Tracy 中使用的公式。现在已经计算了能量（动量）的变化，相应的横向动量 x'、y' 的变化也可以计算出来。这是通过注意到 $p_{x,y}$在辐射过程中没有改变。