描述性统计手册/统计变异性度量/几何标准差

在概率论和统计学中，几何标准差描述了一组数字的离散程度，这些数字的最佳平均数是几何平均数。如果一组数字 {A₁, A₂, ..., A_n} 的几何平均数用 μ_g 表示，则几何标准差为

$\sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)$

推导

如果几何平均数是

$\mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,$

然后对两边取自然对数，得到

$\ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).$

一个乘积的对数是各对数的和（假设 $A_{i}$ 对所有 $i$ 为正），因此

$\ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,$

现在可以看出，$\ln \,\mu _{g}$ 是集合 $\{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}$ 的算术平均数，因此，该集合的算术标准差应为

$\ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}.$

因此

ln(A₁, ..., A_n 的几何 SD) = ln(A₁), ..., ln(A_n) 的算术（即通常的）SD。