Haskell/解决方案/范畴论

哪个定律蕴含传递性？

形式上，偏序关系的传递性定义为：对于任何 $a$，$b$，和 $c$，如果 $a<b$ 且 $b<c$，则 $a<c$。在由偏序关系定义的范畴中，这转化为：对于任何对象 $a$，$b$，和 $c$，如果存在态射 $a\to b$ 和 $b\to c$，则存在态射 $a\to c$。这是由范畴的第二定律保证的，即它们在复合下是封闭的。事实上，最后一个态射是前两个的复合。

为什么添加箭头会破坏范畴定律？

让我们考虑一下组合 $h\circ g$ 和 $g\circ f$ 的结果应该是什么。请注意，由于 $h:B\to A$ 和 $g:A\to B$，那么 $h\circ g:A\to A$，并且由于从 $A$ 到 $A$ 只有一个态射，即 $\operatorname {id} _{A}$，因此得出 $h\circ g=\operatorname {id} _{A}$。使用类似的推理，我们可以证明 $g\circ f=\operatorname {id} _{B}$。

现在，让我们考虑组合 $(h\circ g)\circ f$；将 $h\circ g=\operatorname {id} _{A}$ 代入得到 $\operatorname {id} _{A}\circ f$，根据范畴论的第三定律可以简化为 $f$。然而，范畴论的第一定律规定，此组合应等于 $h\circ (g\circ f)=h\circ \operatorname {id} _{B}=h$，但是 $f\neq h$。