传热/传导

传导

传导方程

利用傅里叶定律在三维空间内进行热量平衡，可以推导出以下方程，该方程将系统中某一点的温度与其笛卡尔坐标和经过的时间联系起来。

${k}\left({{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {z^{2}}}}}\right)=\rho \cdot C_{p}\cdot {\frac {\partial {T}}{\partial t}}$

推导假设没有热量产生（这是 x、y、z 和 t 的函数，如果存在则必须添加）并且材料属性不随时间或温度变化（在这种情况下，它们必须合并到导数中）。

稳态传导

当傅里叶定律的任何一项都不依赖于时间时，我们就有了稳态传导；因此，得到

${k}\left({{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {z^{2}}}}}\right)=0$

平面壁

通过墙壁的热传递是一个一维传导问题，其中温度是距离墙壁表面之一的距离的函数。假设墙壁的其余表面处于恒定温度。墙壁表面的热传递通过周围空气的对流进行，这会导致它们具有$T_{1}$和$T_{2}$的稳态温度。假设温度为$T_{1}$的墙壁一侧的流体处于$T_{1,\infty }$，传热系数为$h_{1}$，温度为$T_{2}$的墙壁另一侧的流体处于$T_{2,\infty }$，传热系数为$h_{2}$，并且$T_{1,\infty }\geq T_{2,\infty }$。该假设意味着$h_{1}\geq h_{2}$。由于墙壁不存储任何热能，因此来自较热表面的所有热量都会传导到较冷的表面。能量守恒决定了

${{\nabla }^{2}}T=0$

对于一个既不产生热量也不存储任何热量的物体，因为在这种情况下，温度只随位置变化，不随时间变化。将同样的方法应用于 x 轴方向垂直于墙壁表面的 1 维情况，我们得到

${-k}{\frac {{d^{2}}T}{d{x^{2}}}}=0$

求解并代入适当的边界条件（在 x=0 处，$T=T_{1}$；在 x=s 处，$T=T_{2}$），我们得到 T 在墙壁厚度$s$内的线性变化。

$T(x)=(T_{2}-T_{1}){\frac {x}{s}}+T_{1}$

从方程式中可以明显看出，墙壁内部的温度分布随距离表面的距离线性变化。由于我们有温度变化，因此可以根据傅里叶定律计算传导率。

${q_{s}}''=-k{\frac {dT}{dx}}={\frac {k}{s}}(T_{1}-T_{2})$

从上述方程可以看出，热通量与 x 无关，是常数。这个例子展示了求解传导问题的标准方法。首先，使用能量守恒方程找到物体内的温度分布，然后将温度方程代入傅里叶定律方程求解热通量。

一般来说，我们希望拥有能够承受高温且导热率很低的材料来建造熔炉。在实践中，我们发现高温材料的热导率也相对较高。因此，熔炉由多层不同材料构成。我们可以利用每种材料的热分解温度找到最佳厚度，使热损失最小。不难看出，每种材料应该在自身热分解温度下吸收热量，并在相邻材料的热分解温度下释放热量。

空心圆柱体

让我们采用与平板相同的假设，只是这次分析一下当我们通过一个无限长的空心圆柱体传递热量时会发生什么。圆柱体的内半径为 R₁，外半径为 R₂。在内温保持在 T₁，外温保持在 T₂ 的假设下，拉普拉斯方程仍然成立。

${{\nabla }^{2}}T=0$

然而，这次我们是在圆柱几何中，所以用圆柱坐标展开拉普拉斯算子是最合理的：

${{\nabla }^{2}}T={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial T \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}T \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}T \over \partial z^{2}}.$

由于圆柱体是无限长的且对称的，关于 z 和 θ 的偏导数为零，因此该方程简化为：

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial T \over \partial r}\right)=-q/k$

当存在热量产生时，上述方程成立。当没有热量产生时，q 变为零。用边界条件 T(R₁) = T₁ 和 T(R₂)=T₂ 求解该方程，我们得到：

$T(r)={\frac {T_{2}-T_{1}}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}(\ln(r)-\ln(R_{1}))+T_{1}$

将此代入傅里叶传导定律，我们得到：

$Q''={\frac {-k(T_{2}-T_{1})}{r\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {k(T_{1}-T_{2})}{r\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {2k(T_{1}-T_{2})}{\phi \ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}}$

注意，与平板不同，圆柱体的热通量不与半径无关，这在设计圆柱形换热器等方面具有重要意义。

现在让我们以每单位长度的热通量来表达它，这样我们就可以将其用作对不是无限长圆柱体的近似值。圆柱体的横截面积是 $A=2{\pi }rL$，所以

$Q'={\frac {Q}{L}}={\frac {2{\pi }k(T_{1}-T_{2})}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {2{\pi }k(T_{1}-T_{2})}{\ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}}$

因此，每单位长度传递的热量与半径的对数密切相关。

多层传导和电热模拟

通常，传导并非仅发生在一个平面壁或一个圆柱体中，而是发生在多个平面层或同心圆柱体中。例如，现代房屋的墙壁由几层构成以提高其隔热性能：因此，我们可以从内向外找到以下分层

(1) 内部油漆

(2) 石膏

(3) 砖块，例如多孔砖

(4) 热绝缘体，如聚苯乙烯

(5) 空腔（空气是良好的绝缘体）

(6) 再次是砖块、石膏和油漆

所以，我们有 8 层，方程的解

${-k}{\frac {{d^{2}}T}{d{x^{2}}}}=0$

变得更加复杂，因为有更多边界条件需要满足。解决该问题的简化方法是**电热模拟**：如果我们观察$Q$对于平面壁和空心圆柱体的表达式，我们会注意到它们可以写成

$Q=G\Delta T={\frac {\Delta T}{R}}$

其中 $G$（或 $R$，取决于个人喜好），取决于几何形状，并包含导热系数 $k$。此公式类似于欧姆定律

$I={\frac {\Delta V}{R}}$

因此，传导的热问题可以用热阻（或热导，取决于个人喜好 $G=1/R$）来模拟：每个热阻都是一个在其节点上保持不同温度的物体，因此热量通过它传递；同样，如果我们在电阻上施加电压差，电流就会通过它。这种模拟很有用，因为它允许我们将多层问题模拟为串联连接的电阻图。实际上，如果电阻 A 与 B 串联连接，则 A 的末端节点与 B 的起始节点电压相同；如果热阻 A（墙壁的一层）与热阻 B（另一层）串联连接（相邻），则在公共节点（界面）上不会有热梯度。对于第 i 个平面壁

$R_{i}={\frac {s_{i}}{k_{i}A_{i}}}$

其中 $A$ 是墙壁的面积。所以我们有

$Q={\frac {T_{ext}-T_{int}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}}}$

对于同心空心圆柱体（例如绝缘管道），我们可以使用相同的公式，但电阻由以下公式给出

$R={\frac {\ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}{2\pi kL}}$

有限差分法

有限差分法试图通过用代数表达式估计微分项来求解微分方程。该方法最适合简单几何形状，这些形状可以分解成矩形（在笛卡尔坐标系中）、圆柱体（在圆柱坐标系中）或球体（在球坐标系中）。否则，应使用有限元方法。如果可以使用有限差分法，它比有限元方法更容易实现，但会损失一些精度。

对一阶微分的简单估计为：

${\frac {\partial x}{\partial y}}={\frac {\Delta x}{\Delta y}}$

可以证明，使用此近似值引起的误差与${\Delta y}^{2}$大致成正比。

为了估计二阶导数，将其视为一阶导数的导数，并依次将上面的近似值应用两次

${\frac {\partial ^{2}x}{{\partial y}^{2}}}={\frac {{({\frac {\partial x}{\partial y}}})_{2}-({\frac {\partial x}{\partial y}})_{1}}{\Delta y}}={\frac {({\frac {\Delta x}{\Delta y}})_{2}-({\frac {\Delta x}{\Delta y}})_{1}}{\Delta y}}={\frac {x_{3}-2x_{2}+x_{1}}{{\Delta y}^{2}}}$

很明显，估计二阶导数需要三个点，而估计一阶导数只需要两个点。这种特殊方法也可以证明是二阶的，其中${\Delta y}$.

瞬态传热

在瞬态传热问题中，必须求解完整的傅里叶方程

${k}\nabla ^{2}T=\rho \cdot C_{p}\cdot {\frac {\partial {T}}{\partial t}}$

该方程的解比稳态方程更难，但在简单情况下是可能的。否则，应使用数值方法。

平板

太阳加热地球是辐射热传递的例子。太阳温暖地球而不温暖太阳和地球之间的空间。

有限差分法

有限差分法用于查找奇形物体