高中微积分/两条曲线之间的面积

两条曲线之间的面积

两条曲线之间的面积可以更简单地描述为两条图形之间的面积。

为了做到这一点，你必须对这两个函数求不定积分。

这用大写字母表示，例如$F(x)\quad and\quad G(x)$

让我们以图形$f(x)=x^{2}$ 和 $g(x)=x^{3}$ 为例。

让我们也取2到4之间的面积，用$2\leq A\leq 4$ 表示。

$\int _{2}^{4}x^{2}\,dx$

和

$F(x)=\left({\frac {1}{3}}\right)*x^{3}$

$G(x)=\left({\frac {1}{4}}\right)*x^{4}$

现在评估从2到4的不定积分

$F(x)=[\left({\frac {1}{3}}\right)*4^{3}]-[\left({\frac {1}{3}}\right)*2^{3}]$

$F(x)=[\left({\frac {1}{3}}\right)*64]-[\left({\frac {1}{3}}\right)*8]$

$F(x)=[\left({\frac {64}{3}}\right)]-[\left({\frac {8}{3}}\right)]$

$F(x)=\left({\frac {56}{3}}\right)$

现在我们将评估不定积分G(x)

$G(x)=[\left({\frac {1}{4}}\right)*4^{4}]-[\left({\frac {1}{4}}\right)*2^{4}]$

$G(x)=[\left({\frac {1}{4}}\right)*256]-[\left({\frac {1}{4}}\right)*16]$

$G(x)=[64]-[4]$

$G(x)=60$

现在我们取 **F(x)-G(x)** 来找出两条曲线之间的面积。

$\left({\frac {56}{3}}\right)-\left({\frac {180}{3}}\right)$

$\left(-{\frac {124}{3}}\right)$

因此，$2\leq A\leq 4$ 在$f(x)=x^{2}$ 和 $g(x)=x^{3}$ 之间的面积为 $\left(-{\frac {124}{3}}\right)$