高中微积分/旋转曲面面积

旋转曲面面积

本节从构造曲面开始。一条曲线$y=f(x)$绕一个轴旋转。这将产生一个“旋转曲面”，它围绕着我们得到的轴是对称的，比如圆柱体（一个管子）。通过旋转曲线，我们可能会得到一个灯或灯罩（甚至灯泡）。

关键思想是解析短的直线段。它们的斜率为${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$。它们可以是长度相同的段$\operatorname {d} s$或$\Delta s$，这些段用于求长度。现在我们计算面积。当旋转时，一条直线段会产生一个细带。旋转$y=f(x)$得到的曲面，接近于这些带。第一步是计算一个带的表面积。

一个小说明：曲面也可以被切割成微小的块。每个块几乎是平的，就像一个小正方形。这些块的总和将导致一个二重积分（用$\operatorname {d} x\operatorname {d} y$）。这里积分保持一维($\operatorname {d} x$或$\operatorname {d} y$或$\operatorname {d} t$）。旋转曲面是特殊的 - 我们用环来近似它们，这些环绕了一圈。一个环只是一条有斜率的带，它的斜率会影响它的面积。

旋转一小段直线（长度为$\Delta s$，而不是$\Delta x$）。这段的中心绕着半径为 r 的圆旋转。这个带是圆锥的一片。当我们把它展开时，我们发现它的面积。面积是边长$\Delta s$乘以中间周长$2\pi r$

一个带的表面积为$2\pi r\Delta s=2\pi r{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}}}\Delta x$

对于绕 y 轴旋转，半径为 r = x。对于绕 x 轴旋转，半径为高度：$r=y=f(x)$。带的面积和$2\pi r\Delta s$接近于曲面 S 的面积。在极限情况下，我们对$2\pi r\operatorname {d} s$积分

将曲线 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 之间旋转而产生的曲面面积为

$S=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x$ 绕 x 轴旋转（r = y）(1)

$S=\int _{a}^{b}2\pi x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x$ 绕 y 轴旋转（r = x）。(2)

示例 1

将一个完整的半圆 $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ 绕 x 轴旋转。

旋转曲面是一个球体。它的面积是 $4\pi R^{2}$。x 的取值范围为 -R 到 R。 $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ 的斜率为 ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$.
面积 $S=\int _{-R}^{R}2\pi {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}\operatorname {d} x=\int _{-R}^{R}2\pi R\operatorname {d} x=4\pi R^{2}$.

示例 2

将直线 $y=2x$ 的一部分绕 x 轴旋转。

旋转曲面是一个圆锥，其斜率平方为 $\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=4$。从 x = 0 到 x = 1 的这一段的面积为 $2\pi {\sqrt {5}}$

$S=\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}2\pi (2x){\sqrt {1+4}}\operatorname {d} x=2\pi {\sqrt {5}}$.

答案必须与公式$2\pi r\Delta s$（它来自）一致。从 (0,0) 到 (1, 2) 的直线长度为 $\Delta s={\sqrt {5}}$。它的中点是 $\left({\frac {1}{2}},1\right)$。绕 x 轴，中间半径为 r = 1，面积为 $2\pi {\sqrt {5}}$。

示例 3

将相同的直线段绕 y 轴旋转。现在半径为 x 而不是 y = 2x。示例 2 中的面积减半。

$S=\int 2\pi x\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}2\pi x{\sqrt {1+4}}\operatorname {d} x={\sqrt {5}}$.

对于具有弧长的表面，只有少数几个例子有方便的答案。西瓜、篮球和灯泡在练习中。为了不使本节内容过长，将显示最终的面积公式。

当存在参数 t 时，该公式适用。而不是$(x,f(x))$，曲线上的点为 $\left(x(t),y(t)\right)$。随着 t 的变化，我们沿着曲线移动。长度公式$(\operatorname {d} s)^{2}=(\operatorname {d} x)^{2}+(\operatorname {d} y)^{2}$ 用 t 表示。

对于绕 x 轴旋转的旋转曲面，面积变为 t 积分。

表面积为$\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int 2\pi y(t){\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}\operatorname {d} t$。（3）

示例 4

点 $x=\cos t,y=5+\sin t$ 在以 (0, 5) 为中心的圆上移动。将该圆绕 x 轴旋转会产生一个甜甜圈。求此甜甜圈的表面积。
解决方案

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$。圆在 $t=2\pi$ 处完成。

$\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int _{0}^{2\pi }2\pi (5+\sin t)\operatorname {d} t=\left[2\pi (5t-\cos t)\right]_{0}^{2\pi }=20\pi ^{2}$

练习

阅读问题

旋转曲面是通过绕b旋转a得到的。本节计算c。当曲线是一段短直线（长度为$\Delta s$）时，旋转曲面是一个d。其面积为$\Delta S=\bullet$。在该公式中，r是t的半径。连接（0, 0）和（1, 1）的线段长度为g，绕其旋转得到的面积为h。

当曲线$y=f(x)$绕x轴旋转时，旋转曲面的面积是积分i。对于$y=x^{2}$，计算j的积分。当$y=x^{2}$绕y轴旋转时，面积为S = k。对于由$x=2t$，$y=t^{2}$给出的曲线，改变$\operatorname {d} s$是l $\operatorname {d} t$

找到曲线1-6绕x轴旋转时的旋转曲面面积。

1) $y=sqrt{x}<math>,<math>2\leq x\leq 6$

2) $y=x^{3}$, $0\leq x\leq 1$

3) $y=7x$, $-1\leq x\leq 1$

4) $y={\sqrt {4-x^{2}}}$, $0\leq x\leq 2$

5) $y={\sqrt {4-x^{2}}}$, $-1\leq x\leq 1$

6) $y=\cosh x$, $0\leq x\leq 1$

在 7-10 中，求绕 y 轴旋转的曲面面积。

7) $y=x^{2}$, $0\leq x\leq 2$

8) $y={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}$, $0\leq x\leq 1$

9) $y=x+1$, $0\leq x\leq 3<math></p><p>10)<math>y=x^{\frac {1}{3}}$, $\leq x\leq 1$

11) 篮球切片如果厚度相同，则它们覆盖的面积相同。
(a) 绕 x 轴旋转 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$。证明 $\operatorname {d} S=2\pi \operatorname {d} x$.

(b) x = a 和 x = a + h 之间的面积为 __________。