高中微积分/极限求值

极限求值

什么是极限？极限是函数在图上不接触或不越过的点。

求极限时，我们可能需要进行因式分解以得到L。L是函数不接触或不越过的点。

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

让我们从一个比较简单的极限开始。

$\lim _{x\to 3}x^{2}+x+3$

$3^{2}+3+3=15$

$L=15$

如您所见，我们所做的只是将3代入函数以得到L

但这并不总是奏效。在分数中很容易就能看出来。

我将向您展示两种不同的求极限的方法。第一种是通过因式分解，第二种是使用洛必达法则。

通过因式分解求极限

这是一个相当简单的概念，但并不容易实现。如果您不擅长识别多项式如何重写，这将特别困难。

例1

$\lim _{x\to -2}{\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}$

这给了我们 $L={\frac {0}{0}}$

这是一种不定式。这意味着我们必须找到另一种求极限的方法才能得到正确的L

让我们看看$(x+2)^{2}$如何因式分解

通过因式分解，我们现在得到 $\lim _{x\to -2}{\frac {(x+2)(x+2)}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{\frac {1*(x+2)}{1}}$

$-2+2=0$

$L=0$

例2

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x-8}{x-2}}$

${\frac {2^{2}+2*2-8}{2-2}}$

$={\frac {0}{0}}$

再次，这是一个不确定的形式。让我们看看是否可以通过因式分解来得到答案。

将多项式$x^{2}+2x-8$进行因式分解，我们发现它等于$(x-2)(x+4)$

让我们在极限方程中使用因式分解。

$\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x+4)}{x-2}}$

正如你所看到的，(x-2) 将相互抵消，留下

$\lim _{x\to 2}x+4$

$2+4=6$

$L=6$

这种类型的极限评估需要一些时间，但随着练习可以很快完成。

洛必达法则

这个规则是我最喜欢的解决不确定的形式的极限的方法。

这种方法稍微高级一些，所以我将简要介绍它，但我将展示一些例子和背后的思想。这可能是你将在微积分 II 中学习的内容。

当你有一个极限，你已经确认它处于不确定的形式，你可以使用洛必达法则。

这就是规则

当$\lim _{x\to c}f(x)={\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{0}}$, ${\frac {-\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{-\infty }}$, 或者 ${\frac {-\infty }{-\infty }}$，使用洛必达法则。即$\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

示例 1

$\lim _{x\to 5}{\frac {x^{2}-3x-10}{x-5}}$

${\frac {5^{2}-3*5-10}{5-5}}={\frac {0}{0}}$

现在我们已经确定它是一个不确定的形式，我们使用洛必达法则

$\lim _{x\to 5}{\frac {2x-3}{1}}$

$2*5-3=7$

$L=7$

这是一个极其简化的形式，说明了如何使用该法则。它是一种解决给出不确定形式的极限问题的非常好的方法。