高中微积分/极值与均值定理

极值与均值定理

函数的极值，或极端值，是函数的最小值和/或最大值。它们也被称为绝对最大值或绝对最小值。

极值定理

如果一个函数$f$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续，那么在该区间上存在最大值和最小值。

为了找到函数的相对极值，首先需要计算函数的临界值。

首先找到函数的导数。然后将导数设为0，并求解x的值。

现在，如果函数在闭区间$[a,b]$ 上，那么在原始函数中评估所有临界点和端点。

对于闭区间上的绝对最小值/最大值，评估点中最大的点是最大值；最小的点是最小值。

例子

$f(x)=x^{3}$ 在区间$[-2,2]$ 上的绝对最大值/最小值是什么？

首先，对函数进行微分，

$f'(x)=3x^{2}.$

然后将导数设为0并求解临界点。

$f'(x)=3x^{2}=0$

$x=0.$

现在计算原始函数在临界点和端点上的值，

$f(-2)=-8,f(2)=8,f(0)=0$

由于$f(-2)=-8$ 是最小的，我们知道点$x=-2$ 是绝对最小值，而8是最大的，因此点$x=2$ 是绝对最大值。

罗尔定理

设$f$ 是在闭区间$[a,b]$ 上连续，在开区间$(a,b).$ 上可微。

如果 $f(a)=f(b)$，那么在区间 $(a,b)$ 中至少存在一个数 $c$ 使得 $f'(c)=0.$

本质上，罗尔定理告诉我们，如果一个函数在闭区间上起点和终点相同，那么存在一个点 $c$，导数 $f'(c)=0.$

你可以非正式地认为，在某个点上，函数必须从递增变为递减，或反之，才能回到它开始时的 y 坐标。

平均值定理

如果 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b),$ 上可微，那么在 $(a,b)$ 中存在某个数 $c$ 使得，

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

* 请注意，平均值定理的证明使用了罗尔定理。

平均值定理具有几个不同的意义。在几何学中，它告诉我们，如果在起点 a 和 b 之间画一条割线，那么在函数的某个地方存在一条平行于割线的切线。

平均值定理还表明，在开区间 $(a,b),$ 的某个地方，瞬时变化率（一点处的变化）等于整个区间的平均变化率。

当您使用平均值定理进行评估时，它将得出区间内的平均变化率。

例子

确定平均值定理是否适用，如果适用，找到开区间 $(a,b)$ 中的所有 c 值，使得，$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

令 $f(x)=x^{2},[-2,1].$

首先，检查函数在闭区间上是否连续。由于我们处理的是$x^{2}$，我们已经知道它对所有 x 都是连续的。

接下来，检查函数在开区间$(-2,1).$上是否可微。我们知道导数是$f'(x)=2x,$它在开区间上处处存在。

现在我们知道定理的两个条件都满足了，我们可以将其应用于问题。

首先在端点处评估函数。 $f(-2)=4,f(1)=1.$

接下来，将所有信息代入定理，$f'(c)={\frac {1-4}{1-(-2)}}$

$={\frac {-3}{3}}$

$=-1.$

这告诉我们区间上的平均变化率是$-1.$

为了找到所有$c$的值，其中$f'(c)=-1,$用$f(x).$的导数替换$f'(c)$。

这看起来像

$2c=-1$

$c=-{\frac {1}{2}}$

问题的答案是$c=-{\frac {1}{2}}$

练习题

确定平均值定理是否适用，如果适用，找到开区间 $(a,b)$ 中的所有 c 值，使得，$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

$1.f(x)=x^{3}-x^{2}-2x,[-1,1].$

$2.f(x)={\frac {x+1}{x}},[{\frac {1}{2}},2].$

$3.f(x)={\sqrt {2-x}},[-7,2].$