高中微积分/隐函数求导

隐函数求导

当 **x** 和 **y** 之间的函数关系无法轻易地解出 **y** 时，可以将前面的规则直接应用于隐函数。

导数通常包含 **x** 和 **y** 。因此，代数函数的导数，由将 **x** 和 **y** 的多项式设为零来定义。

例 1

给定 x 的函数 y

$x^{5}+y^{5}-5xy+1=0$

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$

因为

${\operatorname {d} \over \operatorname {d} x}(x^{5}+y^{5}-5xy+1)=0$

$=5x^{4}+5y^{4}{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}-5y-5x{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}=0$

在求解 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$ 之前，我们必须先对求导问题进行因式分解

这样得到

${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}(5y^{4}-5x)+(5x^{4}-5y)=0$

从这里，我们将 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$ 移到一边

这样得到

$5x^{4}-5y=-{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}(-5x+5y^{4})$

在这里，我将跳过求解这个隐函数求导问题的一步。我将跳过将 -1 除到另一边的步骤。

从这里，我们将 $\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x$ 的多项式除到另一边。得到

$\left({\frac {-5x^{4}+5y}{-5x+5y^{4}}}\right)={\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$

现在我们简化得到

${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}=\left({\frac {x^{4}-y}{x-y^{4}}}\right)$

其他练习题

例 2

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$，给定函数

$xy^{2}+x^{2}y=1$

例 3

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$，给定函数

$x+y+(x-y)^{2}+(2x-3y)^{3}=0$