高中微积分/用部分分式积分

用部分分式积分

用部分分式积分有几种不同的方法。我将向您展示的是我最熟悉的一种。

关键是要意识到如何将分母拆分成两个或多个分数。分子将包含像 A、B、C 这样的占位符。根据分母需要如何拆分，您可能会有 Ax + B 或其变体。

因为我认为这在例子中会更好地解释，所以我将给您举一个例子。

例 1

$\int {\frac {1}{x^{2}-4}}\operatorname {d} x$

通过一些因式分解，我们可以看到 $x^{2}-4$ 也等于 $(x+2)(x-2)$

我现在要先省略积分符号，这样您就不会感到困惑，而且您可以看到我对分数做了什么。

${\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}$

为了得到分子，我们需要乘以 LCD

$1=A(x-2)+B(x+2)$

我们把它设为 1，因为 1 是原始分子中的数字。

现在我们可以选择先解 A 或 B。为了做到这一点，我们必须找到其中一个等于 0 的时候。

当 x = 2 时
$1=A(0)+B(4)$

$B={\frac {1}{4}}$

现在让我们找到 A

当 x = -2 时
$1=A(-4)+B(0)$

$A=-{\frac {1}{4}}$

这意味着
${\frac {\left(-{\frac {1}{4}}\right)}{x-2}}+{\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{x+2}}$

现在我们知道部分分式是什么了，现在我们可以进行积分了。

$\int {\frac {1}{4(x+2)}}\operatorname {d} x-\int {\frac {1}{4(x-2)}}\operatorname {d} x$

$={\frac {\ln(\left\vert {x+2}\right\vert )}{4}}-{\frac {\ln(\left\vert x-2\right\vert )}{4}}$

$={\frac {1}{4}}\ln \left({\frac {\left\vert x+2\right\vert }{\left\vert x-2\right\vert }}\right)$

其他练习题

${\frac {x^{2}+3x+2}{(x-2)^{2}(x+1)}}$