高中微积分/换元积分法

换元积分法

有一个定理可以帮助你进行积分的换元。它被称为**定积分的变量替换**。

定理的形式如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(u))g\prime (u)\operatorname {d} u$

为了得到$\alpha$，你必须将a代入函数g；为了得到$\beta$，你必须将b代入函数g。

最难的部分是识别你想把什么设为u。有时简单的换元法还不够，你可能需要使用分部积分法。这将在另一节中讨论。

例1

$\int _{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}\operatorname {d} x$

我们不会将它展开成一个大的多项式，而是直接使用换元法。

步骤1

确定你的u

令$u=x^{2}+1$

步骤2

确定$\operatorname {d} u$

$\operatorname {d} u=2x\operatorname {d} x$

步骤3

现在我们将积分上限代入u，以找到新的积分上限。

当$x=0,u=0^{2}+1=1$

当$x=2,u=2^{2}+1=5$

现在我们的积分问题看起来像这样：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{5}(x^{2}+1)^{2}(2x)\operatorname {d} x$

步骤4

写出你的新积分问题

当我们代入u后，它看起来像：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{5}(u)^{2}\operatorname {d} u$

步骤5

计算积分

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{3}}u^{3}\right]_{0}^{5}$

${\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {1}{3}}*5^{3}\right)-\left({\frac {1}{3}}*0^{3}\right)\right]$

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{3}}*125\right]$

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {125}{3}}\right]$

${\frac {125}{6}}$

正如你所看到的，这个过程简化得相当好。对于大多数人来说，一开始使用替换可能很困难。一旦你掌握了这种方法，你每次都会越来越快地完成它。

我还会给你一些其他问题让你练习。

例 2

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)\cos(x)\operatorname {d} x$

例 3

$\int _{-1}^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}(2x)\operatorname {d} x$

解题

例 2

令 $u=\sin(x)$

然后 $\operatorname {d} u=\cos(x)\operatorname {d} x$

当 x = 0 时
$\sin(0)=0$
以及当 $x={\frac {\pi }{2}}$
$\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$

因此，

$\int _{0}^{1}u\operatorname {d} u$

$\left[{\frac {1}{2}}u^{2}\right]_{0}^{1}$

$\left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(1)\right]-\left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(0)\right]$

$={\frac {1}{2}}\sin ^{2}(1)$

例 3

令 $u=x^{2}+4$

那么 $\operatorname {d} u=2x$

代入我们的积分上限和下限，得到新的积分上限和下限

当 x = -1
$(-1)^{2}+4=5$
当 x = 2
$2^{2}+4=8$

我们新的积分问题是

$\int _{5}^{8}(u)^{\frac {1}{2}}\operatorname {d} u$

得出结果

$\left[{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right]_{5}^{8}$

$=\left[{\frac {2}{3}}*(x^{2}+4)\right]_{5}^{8}$

$=\left[{\frac {2}{3}}*(8^{2}+4)\right]-\left[{\frac {2}{3}}*(5^{2}+4)\right]$

$=\left[{\frac {136}{3}}\right]-\left[{\frac {58}{3}}\right]$

$=26$