高中微积分/洛必达法则

洛必达法则

这是一个非常有趣的规则。正如在其他章节中所解释的那样，你所学过的处理分数极限的方法是因式分解。洛必达法则是一种更简单的方法，可以用来处理这些分数极限函数。

当使用这个规则时，你必须首先证明在评估极限时会得到一个不定式。

不定式可以用不同的方式表达。

不定式： ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0*\infty$, ${\frac {-\infty }{-\infty }}$, $\infty -\infty$, ${\frac {-\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{-\infty }}$, $0^{0}$, $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$

有很多，但你越是使用它们并熟悉这些不定式，它们就会被你牢记于心。

例：1

证明该极限是不定式

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}$

洛必达法则的下一步是将分数看作 ${\frac {f(x)}{g(x)}}$

只要 $g(x)\neq 0$，你就可以使用洛必达法则。

洛必达法则的公式为 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$，只要 f 和 g 在开区间 (a,b) 上可微。

例：2

确定你是否可以使用洛必达法则。如果可以，则使用洛必达法则计算极限。

$\lim _{x\to 0}{\frac {3x^{3}-x}{x-5}}$

你会注意到，当尝试使用洛必达法则评估一些极限时，函数只是来回切换。当这种情况发生时，你可能需要将一个变量乘以函数，只要它等于1。

例如：3

确定是否可以使用洛必达法则。如果可以，那么使用洛必达法则评估极限。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

示例 3 的解决方案

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}={\frac {\infty }{\infty }}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

正如你所看到的，我们没有取得任何进展。需要做一些其他事情。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}*{\frac {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {x}{x}}}{\sqrt {{\frac {x}{x}}+{\frac {1}{x}}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{x}}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\infty }}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+0}}}=1$

$L=1$