高中微积分/相关变化率

相关变化率

当您需要找到两个或多个相关变量的变化率时，可以使用链式法则来找到这些相关变化率。

请记住，您可以将导数视为您正在求导的函数的变化率。

在相关变化率的情况下，您正在对时间 t 进行微分。

在解决相关变化率问题时，以下是一些可以帮助解决问题的步骤。

1. 识别所有给定的变量和所有需要确定的变量。

2. 画出场景的示意图。

3. 找到一个与所有变量相关的方程，已知或未知。

4. 使用链式法则对时间进行隐式微分。

5. 代入所有已知信息。

6. 求解未知变量。

示例

想象一个气球被充气。如果我们知道体积的变化率是每秒 8 英寸，那么当气球半径为 4 英寸时，半径的变化率是多少？

这些是相关变化率。

第一步是确定所有已知和未知变量。

我们知道体积变化率是每秒 8 英寸，气球半径将为 4 英寸。我们试图找到半径的变化率。

第二步是画一个示意图，它显示当空气被泵入气球时，气球的半径会膨胀。

第三步，我们需要一个将这些变量联系起来的方程。

由于我们正在处理球体的体积，我们知道这个方程是：$V={\frac {4}{3}}{\pi }r^{3}.$

第四步，我们需要对时间进行微分，这看起来像

${\frac {dV}{dt}}=4{\pi }r^{2}{\frac {dr}{dt}}.$

第五步，我们需要代入所有已知信息，即体积的变化率和球体的半径。

$8=4{\pi }(4)^{2}{\frac {dr}{dt}}$

$8=64{\pi }{\frac {dr}{dt}}.$

最后，我们需要求解半径的变化率。由于所有单位都是英寸，因此无需事先进行更改。

${\frac {8}{64{\pi }}}={\frac {dr}{dt}}$

${\frac {1}{8{\pi }}}={\frac {dr}{dt}}.$

半径变化率为${\frac {1}{8{\pi }}}$ 毎秒。

有时相关变化率可能更加困难，涉及多个未知变量。在这些情况下，您可能需要使用多个方程来找到未知变量，然后再找到您最初要找的未知变量。

相关变化率的情况可以是多种多样的，从体积到飞机的速度，到篮球等等。

另外要注意的是变量的单位。在某些情况下，您可能需要将变量转换为匹配的单位。

以下是一些常用于相关变化率的方程。

圆/球体：面积 = ${\pi }r^{2}$ 体积 = ${\frac {4}{3}}{\pi }r^{3}$ 表面积 = $4{\pi }r^{2}$

距离公式：$d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

圆锥：底面积 A = ${\pi }r^{2}$ 体积 = ${\frac {Ah}{3}}$

圆柱体：体积 = ${\pi }r^{2}h$

练习题

一个人在观看飞机飞过。设 z 为此人到飞机的距离。设 x 为飞机和此人之间的水平距离。如果 z 减少的速度是每小时 200 英里，当 z = 5 英里时，飞机的实际速度是多少？

*提示* 使用距离公式，并绘制一个正在发生的事情的示意图。

一个小孩正在将沙子倒入一个圆锥形的堆里。如果沙子以每秒 5 立方厘米的速度落下，如果底部的直径是堆高两倍，当堆高为 10 厘米时，堆高变化的速度是多少？