高中微积分/切线与变化率

在数学中，当我们说函数时，我们指的是一个根据其定义域变化方式改变其输出值的方程。简单来说，就是当一个量变化时，另一个相关的量如何变化。在进入本节之前，最好先阅读有关图形和函数的内容。

在微积分中，微分是一个极其重要的概念。微积分的所有其他部分都依赖于微分，即当x变化时函数的瞬时变化率。正如大多数人认为的，这不是一个难的概念，整个微积分的概念并不难，但它很美妙。在学习函数的导数之前，为了理解这个概念，我们需要对切线和函数的变化率有一个很好的理解（这将在下面解释）。

也许你之前在几何课上学过切线这个术语，即使在微积分中，当我们说切线或切线时，我们基本上都在考虑那个古老的含义。解释这个概念最简单的方法是用图形来表示这个概念。如果你看到了上面的图片，你会看到我们有一个曲线函数和另一条线接触曲线，另一条线接触曲线的区域是无限小的。这就是切线的表示。这就是微分或求函数导数的整个概念。

切线的另一个术语是函数的斜率。找到斜率的方法是，假设你的函数是线性的，

斜率 = Y 变化量 / X 变化量 = Y2-Y1 / X2-X1

需要清晰的数学方程图像

让我们考虑一个像 y=x^2 的曲线，这是世界上最简单的曲线。你会发现这种方法不适用于曲线。自己试试看。你不会得到一个恒定的答案。因为这个函数的斜率或梯度一直在变化。

理解切线的数学方法。

我们利用你对普通术语“切线”的理解来从数学上理解它。为了继续在本节中阅读，你应该熟悉函数的极限概念。本书的开头部分有关于它的章节。

我简单解释一下。假设我们有一个函数 y=f(x)，当x接近某个值但不等于那个值时，y 接近什么。让我举个例子，这样你就能简单地理解它。如果你熟悉函数 y=1/x，你会注意到当 x=0 时，这个函数的输出值是不确定的，如果你从右侧向 0 替换 x 值，你会注意到当 x 越来越小时，y 的值会大幅度增加，y 会接近 + 无限大。如果你从左侧来，你会注意到 y 会接近 - 无限大。所以根据你所学的极限定义，这个函数不是一个有效的函数，因为当我们从不同的方向接近 x 时，y 值不会发散成一个值，它分别不会到 +、- 无限大。但我选择这个函数是因为它很容易理解极限的基本概念。有很多技术可以用来简化包含极限的方程，比如洛必达法则，你可以在本书的极限部分找到它们。

现在你已经对函数的极限有了基本的了解。让我们定义切线意味着什么。假设我们有一个函数 y=f(x)，我们需要找到当 x=a 时函数的切线，假设这个函数是一条曲线，让我们稍微思考一下。所以根据我们从几何学中对切线的理解，我们需要创建一条只接触曲线的线，从逻辑上讲，它是在一个无限小的区域内接触的。

那么，如果你只取一个小的，无限小的 x 变化量，我们称之为“delta x”（我们称之为 delta x，因为在数学中 delta 表示变化）。然后取一个无限小的 y 变化量，我们称之为 dy。并将 y 的微小变化量除以 x 的微小变化量。

花点时间想想。

让我们举一个简单的例子。

假设你有一个函数 (y=x^2)，我们需要找到当 x=5 时这个函数的切线。所以我们需要找到 deta x 或 dx 或无限小的 x 变化量。

需要清晰的数学图像

假设 x=[5.00000000,5.00000001]（这不是无限小的，但这就可以了！）所以 dx=5.00000001-5.00000000; dx=0.00000001;

要找到 dy，

假设，dy=Y2-Y1;（假设 Y2 和 Y1 之间的差异是无限小的）

Y2=(5.00000001)^2;（代入 x^2=y 方程）Y1=(5.00000000)^2;

Y2=25.0000001;（对上述方程进行简化）Y1=25;（对上述方程进行简化）

所以，

dy=25.0000001-25.0000000;

dy=0.0000001;

所以我们找到了 dy 和 dx。

dy=0.0000001; dx=0.00000001;

所以这个函数在 x=5 处的斜率应该近似等于，

dy/dx=0.0000001/0.00000001;

dy/dx=10;

需要清晰的数学图像。

好了！你刚刚找到了当 x=5 时函数 y=x^2 的切线。希望这不太多。

变化率和切线之间的关系。