高中微积分/微分技巧

微分技巧

导数的定义， $f'(x)=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$ 并不是找到导数的唯一方法。本节提供了三种不同的技巧来帮助找到导数。这些技巧通常比导数的定义更快，具体取决于给定的方程。本节的最后一部分介绍了如何计算高阶导数。

幂法则

第一个技巧允许您找到多个项的求和的导数。

这被称为 幂法则。

幂法则仅在特定条件下适用。

定理

如果 n 是某个有理数，则函数 $f(x)=x^{n}$ 可微，并且

${\frac {d}{dx}}[x^{n}]=nx^{n-1}.$

为了使f在x=0处可微，n必须是一个使得 $x^{n-1}$ 在包含0的区间上定义的数。

证明

${\frac {d}{dx}}[x^{n}]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {(x+{\Delta }x)^{n}-x^{n}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}({\Delta }x)+{\frac {n(n-1)x^{n-2}}{2}}({\Delta }x)^{2}+.....+({\Delta }x)^{n}-x^{n}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)x^{n-2}}{2}}({\Delta }x)+.....+({\Delta }x)^{n-1}\right]$

$=nx^{n-1}+0+.....+0$

$=nx^{n-1}{\square }.$

示例

以下是幂法则的一个示例

$f(x)=3x^{2}+2x+1$

通常情况下，您会逐步完成导数的定义，

$f'(x)=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$

但是，您可以应用幂法则来求导数。

首先，看一下方程的第一项， $3x^{2}.$

要找到 $f'(x)$ ，首先将该项变量上的幂降到方程的前面， $(2)*(3x^{2}).$

接下来，从降到方程前面的幂中减去 1， $(2)*(3x^{1}).$

或者， $(2)(3)x=6x.$ 因此，我们现在有了导数的第一部分， $6x.$

现在，对方程的第二项和第三项执行此操作。

对于第二部分， $2x^{1}$

$(1)*(2x^{1})$

$(1)(2)(x^{0})=2.$

这表明第二部分是 $2.$

现在对于第三部分，我们注意到没有变量， $x.$

看待这最后一部分有两种方式：其一，没有变量，所以这部分消失了；其二，由于没有变量，我们用 0 乘以整个部分，因为这将是变量的幂。

无论哪种方式，第三部分都不复存在了。

现在，如果我们将这两部分放在一起，我们就得到了答案

$f'(x)=6x+2.$

这是此方法在实际应用中的另一个示例

$f(x)=3x^{3}-4x^{2}+3x-4$

$f'(x)=(3)(3x^{3-1})-(2)(4x^{2-1})+3x^{1-1}$

$f'(x)=9x^{2}-8x+3.$

以下是一些练习题。

$f(x)=x^{2}-7x+13$

$h(x)=2x^{3}+2x-3$

$g(x)=4x^{4}-7x^{3}+2x^{2}+5x-4$

乘积法则

下一种技巧称为**乘积法则**。

如前所述，并非所有导数都可通过幂法则求得。

虽然幂法则是一种求解许多导数的好方法，但根据您当前正在求解的方程式，还存在其他方法。

幂法则可以看作是两个独立函数的和，它们的导数分别是各个函数导数的和。

乘积法则介绍了如何求解两个函数的乘积。

定理

两个可导函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的乘积本身也是可导的。

$f(x)g(x)$ 的导数是 $f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x).$

证明

${\frac {d}{dx}}[f(x)g(x)]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)*g(x+{\Delta }x)-f(x)g(x)}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)*g(x+{\Delta }x)-f(x+{\Delta }x)g(x)+f(x+{\Delta }x)g(x)-f(x)g(x)}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[f(x+{\Delta }x)*{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}+g(x)*{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}\right]$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[f(x+{\Delta }x)*{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}\right]+\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[g(x)*{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}\right]$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}f(x+{\Delta }x)*\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}+\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}g(x)*\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x){\square }.$

示例

例如，取方程 $h(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-2x-1).$

首先，考虑每个部分的导数。令 $f(x)=x^{2}+1$ 且令 $g(x)=x^{2}-2x-1.$

$f'(x)=2x$ 以及 $g'(x)=2x-2.$

现在将每个部分应用于之前的定理。

$h'(x)=f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)$

$h'(x)=(x^{2}+1)*(2x-2)+(x^{2}-2x-1)*(2x).$

现在我们只需要化简。

$h'(x)=(2x^{3}+2x-2x^{2}-2)+(2x^{3}-4x^{2}-2x)$

$h'(x)=(2x^{3}-2x^{2}+2x-2)+(2x^{3}-4x^{2}-2x)$

$h'(x)=4x^{3}-6x^{2}-2.$

现在，如果乘积法则对你来说似乎不太吸引人，在可能的情况下，你可以直接化简原始方程。

如果你将各个部分相互乘积，然后求导数，你实际上只是在使用幂法则。

有时这种方法可能更容易，但在某些情况下，你可能无法将各个部分相乘。

这是一个改变乘积规则的例子。

$h(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-2x-1)$

$h(x)=x^{4}+x^{2}-2x^{3}-2x-x^{2}-1$

$h(x)=x^{4}-2x^{3}-2x-1.$

然后使用幂法则，

$h'(x)=4x^{3}-6x^{2}-2.$

正如你所看到的，这两种方法都得到了相同的答案。

此外，乘积法则可以扩展到两个以上的部分。

这将类似于

${\frac {d}{dx}}[f(x)g(x)h(x)]=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x).$

为了进一步学习，以下是一些练习题。

$h(x)=(x^{2}-2)(3x+1)$

$w(x)=(3x+2)(2x^{2}+4x)$

$p(y)=(y^{2}-3y)(5y-4)(2y^{2}+1)$

商法则

下一种技巧称为商法则。

之前我们学习了如何处理两个函数的乘积，商法则则教我们如何处理一个函数除以另一个函数的情况。

定理

两个可导函数的商， ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ ，本身在所有 $g(x)\neq 0.$ 时都可导。

该导数由分母函数乘以分子函数的导数，减去分子函数乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方得到。

或者， ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.$

证明

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {{\frac {f(x+{\Delta }x)}{g(x+{\Delta }x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)f(x+{\Delta }x)-f(x)g(x+{\Delta }x)}{{\Delta }xg(x)g(x+{\Delta }x)}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)f(x+{\Delta }x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+{\Delta }x)}{{\Delta }xg(x)g(x+{\Delta }x)}}$

$={\frac {\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)[f(x+{\Delta }x)-f(x)]}{{\Delta }x}}-\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x)[g(x+{\Delta }x)-g(x)]}{{\Delta }x}}}{\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}[g(x)g(x+{\Delta }x)]}}$

$={\frac {g(x)[\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}]-f(x)[\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}]}{\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}[g(x)g(x+{\Delta }x)]}}$