高中微积分/链式法则

链式法则

在对平方根函数或幂次方量进行微分时，使用链式法则。

$(ax^{n}+b)^{n}$

使用链式法则，我们对整个幂次方量求导数，并将它乘以内部量的导数。

$n(ax^{n}+b)^{n-1}*(anx^{n-1})$ $=an^{2}x^{n-1}(ax^{n}+b)^{n-1}$

我们所做的就是将量的幂次方移到前面。从那里我们对内部求导数，然后将我们之前的步骤乘以幂次方为 n-1 的量。

例 1

$f(x)=(2x+4)^{3}$

为了正确地对它进行微分，我们必须使用链式法则。首先我们取幂次方数并对其求导数。

$3(2x+4)^{2}$

从这里我们对内部求导数

$3(2)(2x+4)^{2}$

现在我们只需要进行一些简单的简化即可

$f^{\prime }(x)=6(2x+4)^{2}$

这就是 $f(x)=(2x+4)^{3}$ 的导数。

其他要练习的例子

例 2

${\sqrt {4x^{5}+x}}$

记住平方根只是某物乘以 1/2 次方。

例 3

$2(x^{3}+x^{2})^{5}$

例 4

$2x(x^{2}+1)^{3}$

提示：您需要使用乘积法则和链式法则。

完成链式法则的另一种方法是将问题视为复合函数。

在这种情况下，您只需考虑对外部求导数，然后乘以内部的导数。

链式法则在处理幂次方函数或函数的平方根时非常有用。

以下证明概述了这个想法。

证明

令 $h(x)=f(g(x)).$

假设 $x=c$ 且当 $g(x)\rightarrow g(c)$ 时， $x\rightarrow c$

$h'(c)=\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{x-c}}$

$=\lim _{x\rightarrow c}[{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}}*{\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}]$ 且 $g(x)\neq g(c)$

$=[\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}}][\lim _{x\rightarrow c}{\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}]$

$=f'(g(c))g'(c){\square }.$

为了求导数，您可以考虑这个证明。

您可以使用任何您认为可行的方法来求导数。

该方法的一个例子如下：

$h(x)=(3x-1)^{2}.$

设 $g(x)=3x-1$ 且 $f(x)=x^{2}.$

根据链式法则， $f'(x)=2x.$

在本题中， $g(x)$ 在 $f(x).$ 内部。

那么， $f'(g(x))=2g(x).$

但由于链式法则，我们还必须乘以 $g'(x).$ 因此，我们得到 $2g(x)g'(x)$

我们还看到， $g'(x)=3.$

所以，如果我们将这些都放在一起，我们得到 $h'(x)=2(3x-1)(3)$

$h'(x)=6(3x-1).$

您可能已经注意到，在某些情况下，链式法则可以乘出来以创建一个简单的幂法则。

对于前面的示例，如果将幂乘出来，则会剩下一个更简单的方程。

在某些情况下，链式法则更容易。

$h(x)=(3x-1)^{2}$

$h(x)=(3x-1)(3x-1)$

$h(x)=9x^{2}-6x+1$

$h'(x)=18x-6$

$h'(x)=6(3x-1).$

链式法则变得非常有效的另一个原因是在处理三角函数时。

例如， $f(x)=sin(2x)$ 的导数不是 $f'(x)=cos(2x)$ 。

相反，通过应用链式法则， $f'(x)=2cos(2x).$

这表明，每当将三角函数应用于除 x 之外的函数时，链式法则都是有用的。

有时，您可能需要多次应用链式法则。

这是一个例子

$f(x)=sin^{3}(3x)$

$f'(x)=3sin^{2}(3x)cos(3x)(3)$

$f'(x)=9sin^{2}(3x)cos(3x).$

如您所见，首先应用链式法则找到外部函数的导数，即正弦函数上的幂。

接下来，找到正弦函数本身的导数。

最后一步是找到正弦函数内部的导数。

此方法需要两次应用链式法则。其他问题可能需要更多次应用链式法则。