高中微积分/一阶导数检验

一阶导数检验

导数的定义告诉我们，导数是函数在某一点切线的斜率。

导数也可以告诉我们函数在某一点是递减还是递增。

函数 $f(x)$ 在一个区间上是递增的，如果在该区间内有两个数字 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，在区间 $x_{1}<x_{2},$ 中，$f(x_{1})<f(x_{2})$ 成立。

函数 $f(x)$ 在一个区间上是递减的，如果在该区间内有两个数字 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，在区间 $x_{1}<x_{2},$ 中，$f(x_{1})>f(x_{2})$ 成立。

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b],$ 上是连续的，在开区间 $(a,b),$ 上是可微的，那么以下适用

1. 如果 $f'(x)>0$ 对 $(a,b),$ 中的任意 $x$ 成立，那么 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是递增的。

2. 如果 $f'(x)<0$ 对所有 $x$ 在 $(a,b),$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是递减的。

3. 如果 $f'(x)=0$ 对所有 $x$ 在 $(a,b),$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是常数。

在上一节中，我们学习了绝对最小值/最大值。在一个函数内部，可能存在其他极值，称为相对极值。

函数的相对极值是指函数上比其附近所有点都低或高的点。这些点在一个给定的函数内形成“山峰”或“山谷”。

相对极值出现在函数的导数在该点从递增变为递减或从递减变为递增的点上。

如果导数从递增变为递减，则该点称为相对最大值。

如果导数从递减变为递增，则该点称为相对最小值。

通过找到函数的相对极值，您可以使用该点上函数的导数来计算这些极值是否是相对最小值或最大值。

相对极值总是函数的临界点。

示例

找到 $f(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}.$ 的相对极值。

首先，检查该函数是否对所有 $x.$ 连续。

我们可以看到该函数对所有 $x$ 都存在，因此它是连续的。

其次，使用函数的导数找到 $f(x)$ 的临界数。

通过设置 $f'(x)=0.$ 来找到临界数。

$f'(x)=3x^{2}-3x$

$3x^{2}-3x=0$

$x(3x-3)=0$

$x=0,1.$

第三，用临界点创建区间。

因为我们有两个临界点，所以我们将有三个区间。它们是

$-\infty <x<0,0<x<1,1<x<\infty .$

第四，确定 $f'(x)$ 在每个区间上是递增还是递减。通过评估每个区间内的测试值来做到这一点。

在大多数情况下，创建表格来整理当前数据是有益的。

区间	$-\infty <x<0$	$0<x<1$	$1<x<\infty$
测试值	$x=-1$	$x={\frac {1}{2}}$	$x=2$
$f'(x)$ 的符号	$f'(-1)=6$	$f'({\frac {1}{2}})={\frac {-3}{4}}$	$f'(2)=6$
递增/递减	递增	递减	递增

最后，确定是否存在任何相对最大值或最小值。

由于 $f'(x)$ 从递增变为递减再变为递增，我们可以得出结论，在 $x=0,$ 处有一个相对最大值，在 $x=1.$ 处有一个相对最小值。

练习题

找出给定函数的相对极值。

$1.f(x)=x^{2}-6x$

$2.f(x)=x^{4}-32x+4$

$3.f(x)=x+{\frac {1}{x}}$