高中微积分/微积分基本定理

微积分基本定理

为了理解微积分基本定理，我们必须首先理解什么是原函数。

函数$f(x)$的原函数是任何一个函数，通常用$F(x)$表示，使得$F^{\prime }(x)=f(x)$

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$\int f(x)=F(x)+C$

让我们做一些练习

例1

求$f(x)=x^{3}$的原函数是$F(x)={\frac {1}{4}}x^{4}+C$

C代表某个常数。其原因是，当对独立常数进行求导时，结果为0。

当你对这个问题求导时，你将得到$x^{3}$

一般来说，$x^{k}$的原函数是${\frac {1}{k}}*x^{k+1}$

例2

$f(x)=x^{2}+3$

$\int x^{2}+3\operatorname {d} x$

$F(x)=\int x^{2}\operatorname {d} x+\int 3\operatorname {d} x$

$F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+3x+C$

当处理含有加号或减号的函数时，可以分别对其进行积分，这可以帮助你更好地理解正在发生的事情。经过足够的练习，你将不再需要这样做。请记住在积分之间保留适当的符号。

例3

$f(x)=85x^{7}$

$F(x)=\int 85x^{7}\operatorname {d} x$

$F(x)=85*\int x^{7}\operatorname {d} x$

$F(x)=85[{\frac {1}{8}}x^{8}]$

$F(x)={\frac {85}{8}}x^{8}+C$

这里所做的操作是将一个常数倍数提取出来。当函数中存在一个共同的常数倍数时，可以将其从积分中提取出来，以便更容易地进行计算。只是在完成计算后不要忘记将其乘回去。