y = x 3 2 {\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}} 的图形是 x-y 平面上的曲线。这条曲线有多长？定积分需要端点，我们指定 x = 0 和 x = 4。第一个问题是知道要积分哪个“长度函数”。
以下是给出曲线长度的非正式推理。直线段的长度为 ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 {\displaystyle (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} 。在这个直角三角形中，高度 Δ y {\displaystyle \Delta y} 是斜率 ( Δ y Δ x ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)} 乘以 Δ x {\displaystyle \Delta x} 。这条割线的斜率接近曲线的斜率。因此 Δ y {\displaystyle \Delta y} 大致等于 ( d y d x ) Δ x {\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)\Delta x} 。
Δ s ≈ ( Δ x ) 2 + ( d y d x ) 2 ( Δ x ) 2 = 1 + ( d y d x ) 2 Δ x {\displaystyle \Delta s\approx {\sqrt {(\Delta x)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\Delta x} (1)
现在将这些片段加起来，并使它们更小。无穷小的三角形的边长为 ( d s ) 2 = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 {\displaystyle (\operatorname {d} s)^{2}=(\operatorname {d} x)^{2}+(\operatorname {d} y)^{2}} 。将 d s {\displaystyle \operatorname {d} s} 视为 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle {\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x} 并积分
曲线长度 = ∫ d s = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle \int \operatorname {d} s=\int {\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x} . (2)
