高中化学/玻尔模型

在上一课中，你了解到，当不同的元素的原子受到电火花或电流的撞击时，它们会产生不同的原子光谱。这种现象确实相当令人费解。为什么原子在暴露于电流时会发出光？为什么发射的光只在特定的波长上？为什么不同的元素有不同的原子光谱？当然，这些原子光谱一定能告诉我们一些关于它们来源原子的信息，但这一切到底意味着什么呢？这些是 20 世纪初科学家们在丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（图 5.15）对原子光谱和原子性质产生兴趣时所提出的问题。

图 5.15：尼尔斯·玻尔的肖像。

课程目标

• 根据玻尔模型定义能级。
• 利用公式 $E_{n}={\tfrac {-Rhc}{n^{2}}}$ 找到给定玻尔轨道能量。
• 讨论如何利用玻尔模型解释原子光谱。

玻尔利用原子光谱发展了他的模型

因此，光的波长（或颜色）与光的频率有关，而光的频率又与光的能量有关。所有这些关系都在电磁波谱中总结。请记住，光的波长越小（可见光谱的蓝色端），频率越大，能量越大。类似地，光的波长越大（可见光谱的红色端），频率越小，能量越小。

当尼尔斯·玻尔开始思考原子和原子光谱时，他意识到光波粒二象性刚刚被发现。他知道，特定的波长（或颜色）的光与光的能量有关。因此，玻尔意识到，元素的原子光谱中出现的彩色线条不仅对应于这些波长的光，也对应于特定的频率，更重要的是，对应于特定的光能量。因此，一个重要的问题是，为什么原子只在非常特定的能量下发射光？尼尔斯·玻尔意识到，这个不寻常的结果可以用他提出的所谓能级来解释。什么是能级？

电子能量是量子化的

你已经了解到，一块放在地面上的石头会释放势能，因为它会落下。尼尔斯·玻尔意识到，为了使原子释放能量，原子内部一定存在类似的“下降”过程。由于玻尔，像卢瑟福一样，知道原子中的质子都束缚在微小的原子核中，因此，在原子中可以“下降”的明显的亚原子物体就是电子。因此，玻尔提出了一个模型，在这个模型中，电子绕原子核旋转，并且偶尔会靠近原子核，在此过程中释放能量。根据玻尔的说法，当原子的电子向原子核下降时，从原子中释放出来的能量会以光的形式出现。他认为，这种光会产生原子光谱，这些光谱可以在电流通过元素时看到。

当然，玻尔的这些论点都没有解释为什么在每个元素的原子光谱中只出现特定能量。如果你把一块石头举到地面上，然后把它掉下来，它会释放特定的能量。如果你把石头稍微抬高一点，它会释放稍微多的能量。如果你把石头稍微降低一点，它会释放稍微少的能量。事实上，似乎你可以让石头释放任何你想要的能量，只要把它升降到地面上的不同高度。但对于电子来说，情况显然不同。对于电子来说，似乎只有几个可以下降的能级。至少，这就是玻尔的结论，这也是他提出原子能级存在的原因。

根据玻尔的说法，原子中的电子只允许存在于某些能级上。当电子获得能量时（它们可以从通过的电流、电火花、热量或光线中获得能量），它们可以从较低能级跳到较高能级，当它们失去能量时（它们以光的形式释放能量），它们可以从较高能级下降到较低能级。最重要的是，电子不能存在于允许的能级之间。许多人把玻尔的能级比作楼梯。想象一下，一个孩子在楼梯上跳上跳下。孩子可以停留在任何一个台阶上，并停留在那里。如果他输入能量，他就可以跳到更高的台阶。如果他让自己的身体落下，他就可以降到较低的台阶。然而，孩子不能在两个台阶之间的水平上悬停，就像电子不能在原子的两个能级之间悬停一样。

就像孩子不能在楼梯的两个台阶之间悬停一样，玻尔认为电子不能在原子的两个能级之间悬停。

玻尔进一步利用物理学原理发展了他的能级模型。在物理学中，正电荷和负电荷的能量取决于它们之间的距离。因此，玻尔认为，他的能级必须对应于轨道，即以原子核为中心的圆形路径。由于被困在某个轨道上的电子始终与原子核保持恒定的距离，因此玻尔指出，在一个轨道内，电子的能量是恒定的。当然，事实上，只有某些能级是允许的，这也意味着只有某些轨道是允许的。图 5.16 显示了玻尔模型的示意图。在图中，从n = 1 到n = 4 的每个圆都是一个允许的轨道。

图 5.16：原子玻尔模型的示意图。

注意，在任何给定的轨道上，负电子始终与正原子核保持相同的距离，无论该轨道上的任何位置。因此，轨道内的电子始终具有相同的能量。当电子被电流撞击时，它会获得能量，并可以被提升到远离原子核的更高能级轨道。另一方面，当电子失去能量时，它会回落到更靠近原子核的较低能级轨道。电子永远不能存在于允许的轨道之间的距离。请注意，这限制了电子可以进行的不同跃迁的次数。因为电子只能存在于某些轨道中，因此只能具有某些能量，所以我们说电子的能量是量子化的。

玻尔利用一个公式来确定允许的能级

虽然玻尔对原子轨道的描述模型很好地解释了为什么原子应该具有不连续的原子光谱，但很难通过实验进行验证。幸运的是，利用高级物理学，玻尔模型可以用来推导出一个氢原子中允许轨道能量的数学表达式。正如你将在下一节中看到的，这些轨道的能量实际上决定了氢的原子光谱中出现哪些波长的光，这意味着玻尔模型实际上可以通过实验进行验证。预测氢原子允许轨道能量的方程是

$E_{n}={\frac {-Rhc}{n^{2}}}$

这里E_n是第n个轨道的能量（换句话说，是第1、2、3、4等等轨道的能量），R是氢的里德伯常数（始终为R = 1.097×10⁷ m⁻¹），h是普朗克常数（始终为h = 6.63×10⁻³⁴ J · s），c是光速（始终为c = 3.00×10⁸ m/s），而n是您感兴趣的轨道的编号。n可以是1到无穷大的任何整数（没有小数！），n = 1, 2, 3, 4 … ∞。如5.16图所示，n = 1是距离原子核最近的轨道，n = 2是下一个轨道，n = 3是下一个轨道，依此类推。换句话说，n随着距离原子核的距离增加而增加。让我们用这个等式看几个例子。

示例 1 氢原子中第三个允许轨道的能量是多少？ 解决方案: 普朗克常数，h = 6.63×10−34 J · s 氢的里德伯常数R = 1.097×107 m−1（请注意，您不需要给出h、R或c，因为它们都是常数） 光速，c = 3.00×108 m/s n = 3 $E_{n}={\frac {-R\times h\times c}{n^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(1.097\times 10^{7}\,{\text{m}}^{-}1)\times (6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{(3)^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(7.27\times 10^{-27}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{9}}$ $E_{n}=-{\frac {(2.18\times 10^{-18}\,{\text{J}})}{9}}$ $E_{n}=-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}}$ （小心不要漏掉负号！这些能量应该始终为负值。）

示例 2 氢原子中第二个允许轨道的能量是多少？ 解决方案: 普朗克常数，h = 6.63×10−34 J · s 氢的里德伯常数R = 1.097×107 m−1（再次注意，您不需要给出h、R或c，因为它们都是常数） 光速，c = 3.00×108 m/s n = 2 $E_{n}={\frac {-R\times h\times c}{n^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(1.097\times 10^{7}\,{\text{m}}^{-}1)\times (6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{(2)^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(7.27\times 10^{-27}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{4}}$ $E_{n}=-{\frac {(2.18\times 10^{-18}\,{\text{J}})}{4}}$ $E_{n}=-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}}$ (再次注意不要丢掉负号！)

目前，这些可能看起来像是相当无聊的计算，但在下一节中，我们将看到像上面两个这样的能级计算实际上可以用来预测氢原子的原子光谱。 当科学家在 20 世纪初第一次做到这一点时，他们对这个简单的方程预测氢原子发射的光的颜色竟如此准确感到惊讶。

电子改变能级产生的原子光谱

假设你去商店时钱包里有 10 美元，回家时只有 4 美元。你在商店花了多少钱？答案很简单 - 你显然花了 6 美元。对于电子来说，情况类似。如果它们从 10 个能量单位开始，然后下降到 4 个能量单位，那么它们在这个过程中会损失 6 个能量单位。为了用数学语言表达这一点，我们写

$\Delta E_{i\to f}\,\!$	$=\,\!$	$E_{f}\,\!$	$-\,\!$	$E_{i}\,\!$
${\text{Change in energy from initial state,}}\ i{\text{, to final state,}}\ f\,\!$		${\text{Energy in final state,}}\ f\,\!$		${\text{Energy in the state,}}\ i\,\!$

然而，当电子“损失”能量时，它们是通过以光的形式释放能量来损失的。我们已经计算了氢原子第三轨道中电子的能量，为 −2.42×10⁻¹⁹ J，以及氢原子第二轨道中电子的能量，为 −5.45×10⁻¹⁹ J。一个从氢原子第三轨道降落到氢原子第二轨道的电子，从 −2.42×10⁻¹⁹ J 开始，以 −5.45×10⁻¹⁹ J 结束，因此在这个过程中它损失了 −3.03×10⁻¹⁹ J。这可以用数学方法计算出来。(不要太担心这个损失的能量带有负号。只要原子获得能量，符号就会是正的，只要原子损失能量，符号就会是负的)。

初始状态，i = 3

最终状态，f = 2

$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$\Delta E_{3\to 2}\,\!$
$E_{f}=\,\!$	$E_{2}=-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$
$E_{i}=\,\!$	$E_{3}=-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$
$\Delta E_{3\to 2}=\,\!$	$E_{2}-E_{3}\,\!$
$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$(-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}})-(-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}})\,\!$

请记住，减去一个负数就相当于加上一个正数！

$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$(-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}})+(2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}})\,\!$
$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$-3.03\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$

当电子从较高能级轨道跃迁到较低能级轨道时，所有损失的能量都转化为光能。因此，当电子从氢原子的第三能级轨道跃迁到第二能级轨道时，它会发出能量为 3.03×10⁻¹⁹ J 的光束。现在你应该能够将这种能量转化为波长（首先将能量转化为频率，然后将频率转化为波长）。计算结果表明波长为 656 纳米。更令人惊奇的是，如果你观察下面所示的氢原子光谱，你会发现氢原子在 656 纳米处确实有一条红色的光谱线！ 此外，氢原子光谱中绿色的 486 纳米谱线对应于电子从氢原子的第四能级轨道跃迁到第二能级轨道，蓝色的 434 纳米谱线对应于电子从氢原子的第五能级轨道跃迁到第二能级轨道，紫色的 410 纳米谱线对应于电子从氢原子的第六能级轨道跃迁到第二能级轨道。换句话说，玻尔的模型可以用来预测氢原子光谱中四条可见光谱线的精确波长。

关于原子光谱的简短讨论以及你所选元素光谱的动画演示，以及电子在吸收和发射光的过程中改变轨道轨迹的动画演示，请查看 光谱线。

那么其他可能发生的氢原子轨道之间的跃迁呢？例如，对应于电子从第四轨道跃迁到第三轨道的谱线在哪里呢？事实证明，所有其他跃迁的能量都无法包含在可见光谱范围内。因此，即使这些跃迁发生，你的眼睛也无法看到由此产生的光。 显然，玻尔的模型的预测与氢原子光谱的比较结果完全吻合。 只有一个小的问题……

玻尔的模型只适用于氢原子

如果你看一下元素周期表，你会发现氢是一个非常特殊的元素。氢是第一个元素，因此它只有一个电子。事实证明，只要用来描述只有一个电子的原子，玻尔的原子模型就非常有效。 一旦玻尔的模型应用于具有多个电子的元素（不幸的是，这包括氢以外的所有元素），玻尔的模型就会惨败。

玻尔的模型失败了，因为它用经典物理学的规律来处理电子。不幸的是，这些规律只适用于相当大的物体。在玻尔发展他的模型的时候，科学家们才开始意识到，经典物理学的规律不适用于像电子那样小的物质。电子实际上是量子物体，这意味着它们只能用量子物理学的规律来描述。当两个或多个量子物体相互作用时，经典物理学和量子物理学之间的许多差异变得尤为重要。因此，虽然玻尔的模型适用于氢原子，但它在预测具有更多电子的原子的原子光谱方面的效果越来越差。即使是具有两个电子的氦原子也是一个灾难！

玻尔的模型解释了氢原子的发射光谱，而以前对此没有解释。电子云中电子精确能级的发明以及电子通过从一个能级跃迁到另一个能级来获得和损失能量的能力，为原子如何能够发射精确的光频率提供了解释。玻尔计算了氢原子能级的能量，这些能量产生了在氢光谱中发现的精确频率。 此外，这些相同的能级预测氢原子还将在红外和紫外区域发射光频率，而以前没有人观察到过这些频率。后来发现这些精确的红外和紫外光频率存在于氢光谱中，为玻尔模型中的思想提供了更大的支持。

玻尔理论的一个问题是，人们已经知道电子加速时会发射无线电波。当你学习物理学时，你会了解到加速度适用于加速、减速和在弯曲的路径中运动。当带电粒子加速时，它们会发射无线电波。事实上，这就是我们如何产生无线电信号的——通过迫使电子在一个天线中上下加速。自 1895 年以来，科学家们一直用这种方法产生无线电信号。由于玻尔的电子理论上是在原子核周围以圆形路径运动，因此它们必须发射无线电波，因此会失去能量并塌缩到原子核中。由于原子电子云中的电子没有发射无线电波、失去能量并塌缩到原子核中，因此人们立即对电子是否可以围绕原子核以弯曲的路径运动产生了怀疑。玻尔试图通过提出电子云包含一定数量的能级、每个能级只能容纳一个电子，以及在基态下，所有电子都处于最低可用能级来解决这个问题。在这种情况下，电子无法失去能量，因为没有更低的能级可用。电子可以获得能量并跃迁到更高的能级，然后落回现在空闲的能级，从而释放能量，但一旦处于基态，就没有更低的能级可以进入。这解释了为什么围绕原子核运动的电子不会发射能量并螺旋进入原子核。然而，玻尔没有解释为什么只有他计算出的确切能级存在，也就是说，电子云中的电子是什么导致了只有特定的一组能级。

玻尔模型的另一个问题是预测的电子在电子云中的位置。如果玻尔模型是正确的，那么氢原子在基态下的电子将始终与原子核保持相同的距离。如果我们能够对氢电子云进行一系列快照，从而冻结电子的位置，以便我们能够看到它在不同时间的精确位置，我们仍然不知道电子从一个地方到另一个地方所走的路径，但我们可以看到电子的几个位置。这样的电子位置图像将表明电子实际上可以与原子核保持不同的距离，而不是保持恒定距离。

如果电子像玻尔模型所建议的那样绕原子核运动，那么电子位置将始终与原子核保持相同的距离，如图 5.17 部分 A 所示。然而，实际上，电子被发现与原子核保持许多不同的距离，如图 5.17 部分 B 所示。为了解决所有这些差异，科学家需要一种全新的方法来观察能量以及物质本身。

图 5.17：电子不是与原子核保持恒定距离。

玻尔原子模型的发展是科学方法的一个很好的例子。它表明了原子光谱的观察如何导致对物质性质的假设的发明，以解释这些观察结果。该假设还对应该存在于红外和紫外区域的光谱线做出了预测，当发现这些观察结果是正确的时候，它为该理论提供了更多支持证据。当然，进一步的观察也可能提供矛盾的证据，导致该理论的崩溃，玻尔模型也经历了这种过程。然而，玻尔模型并不是一个失败。它提供了洞察力，使我们对原子的概念的下一步发展成为可能。

玻尔模型不可接受

您刚刚看到玻尔模型将经典物理学应用于电子，而电子只能用量子力学来描述。此外，事实证明，玻尔对电子作为围绕原子核沿固定轨道运动的微小物体描述也是不正确的。玻尔描绘的原子看起来非常像一个小型太阳系。原子中心的原子核就像太阳系中心的太阳，而围绕原子核运动的电子就像围绕太阳运动的行星。然而，在量子力学中，电子被认为更像云而不是行星。电子不像“围绕”原子核被限制在轨道上，而是似乎同时出现在各个地方，就像雾一样。

玻尔模型对氢原子起作用的事实实际上非常了不起！当然，玻尔虚构的“太阳系原子”并非随机猜测。玻尔实际上已经对原子内部可能发生的事情进行了相当多的思考，他的工作标志着朝着理解电子在原子中所处位置迈出的第一步。因此，尽管玻尔模型并不完全正确，但尼尔斯·玻尔因其理论在 1922 年获得了诺贝尔奖。事实证明，对原子和原子光谱的完整描述需要了解量子物理学。量子物理学描述了一个奇怪的世界，它遵循仅适用于非常非常小的物体（如电子）的规则。在玻尔发展他的原子模型时，科学家们从未听说过量子物理学。事实上，20 世纪初的大多数科学家认为，一切都可以用经典物理学来描述。即使在今天，科学家们仍然没有完全理解量子物理学和量子物理学所描述的世界。

课程总结

• 尼尔斯·玻尔提出，原子中的电子被限制在特定的轨道上，并且在原子核周围有固定的边界。
• 玻尔认为，处于特定轨道上的电子具有恒定的能量，因此他将这些轨道命名为能级。
• 当电子获得能量（来自电流或电火花）时，它可以使用这种能量从较低能量轨道（靠近原子核）跃迁到较高能量轨道（远离原子核）。
• 当电子从较高能量轨道（远离原子核）跃迁到较低能量轨道（靠近原子核）时，它会以光的形式释放能量。
• 白色本身并不是一种颜色，而是当所有其他颜色的光混合在一起时产生的结果。
• 在玻尔模型中，电子只能存在于特定的轨道上，因此只能具有特定的能量。因此，我们说电子的能量是量子化的。
• 玻尔使用公式$E_{n}={\tfrac {-Rhc}{n^{2}}}$来预测氢原子第n能级（或轨道）中电子的能级。
• 由于根据玻尔模型，电子只允许存在于特定的能级上，因此当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，只能释放出几种可能的光能量。因此，玻尔模型解释了为什么原子光谱是不连续的。
• 玻尔模型成功地预测了氢原子光谱中的四条彩色线，但它在应用于任何包含多个电子的原子时都惨败。这是由于经典物理学定律和量子物理学定律之间的差异。
• 玻尔模型不再被接受为原子的有效模型。

复习题

1. 判断以下每个陈述是真还是假。

   (a) 尼尔斯·玻尔提出，原子中的电子被限制在特定的轨道上，因此只能具有特定的能量。

   (b) 玻尔的原子模型可以用来准确预测氢原子的发射光谱。

   (c) 玻尔的原子模型可以用来准确预测氖原子的发射光谱。

   (d) 根据玻尔模型，电子的能量或多或少取决于它们在轨道上运动了多少圈。

2. 根据玻尔模型，原子中的电子只能具有特定的允许能量。因此，我们说这些电子的能量是_______。
3. 玻尔模型可以准确预测具有以下特征的原子的发射光谱…

   (a) 少于 1 个电子。

   (b) 少于 2 个电子。

   (c) 少于 3 个电子。

   (d) 少于 4 个电子。

4. 考虑 He⁺ 原子。与氢原子一样，He+ 原子只包含 1 个电子，因此可以用玻尔模型来描述。请填空以下陈述。

   (a) 电子从 He⁺ 的n = 2 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道释放的能量______于电子从 He⁺ 的n = 3 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道释放的能量。

   (b) 电子从 He⁺ 的n = 2 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道产生的光的波长______于电子从 He⁺ 的n = 3 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道产生的光的波长。

   (c) 电子从 He⁺ 的n = 2 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道产生的光的频率______于电子从 He⁺ 的n = 3 轨道跃迁到 He⁺ 的n = 1 轨道产生的光的频率。

5. 根据玻尔模型，较高能量的轨道位于（靠近/远离）原子核。这说得通，因为负电子被（吸引/排斥）原子核中的正质子，这意味着将电子移开（远离/靠近）原子核需要能量。
6. 根据玻尔模型，氢原子第一个玻尔轨道中电子的能量是多少？
7. 根据玻尔模型，氢原子第十个玻尔轨道中电子的能量是多少？
8. 根据玻尔模型，氢原子第七电子层中的电子能量是多少？
9. 如果氢原子中的电子能量为 −6.06×10⁻²⁰ J，它处于哪个玻尔电子层？
10. 如果氢原子中的电子能量为 −2.69×10⁻²⁰ J，它处于哪个玻尔电子层？
11. 如果氢原子中的电子从第五玻尔电子层跃迁到第三玻尔电子层，会释放多少能量（可以将能量表示为正数）？
12. 如果氢原子中的电子从第六玻尔电子层跃迁到第三玻尔电子层，会发射什么波长的光？这种光属于可见光范围吗？

词汇

玻尔能级

根据玻尔原子模型，电子绕原子核运动的轨道（或圆形路径）所对应的特定能量。

玻尔原子模型

玻尔对元素在受到电流冲击时产生不连续原子光谱的解释。根据该模型，电子被限制在原子核周围的特定轨道上，就像太阳系一样。

经典物理学

描述大型物体相互作用的物理定律。

量子力学

描述极小（原子或亚原子）物体相互作用的物理定律。也称为“波动力学”和“量子物理学”。

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