高中物理/抛射运动

在忽略阻力和风的情况下，均匀重力的情况会导致抛射运动轨迹，这是一个抛物线。为了模拟这种情况，可以选择 $V=mgz$ ，其中 $g$ （gee）是所谓的重力加速度。

相对于平坦的地形，设初始水平速度为 $v_{h}$ ，初始垂直速度为 $v_{v}$ 。将证明，射程为 $2v_{h}v_{v}/g$ ，最大高度为 ${v_{v}^{2}}/2g$ 。对于给定的总初始速度 $v$ ，当 $v_{h}=v_{v}$ 时，即初始角度为 45 度时，可获得最大射程。此射程为 $v^{2}/g$ ，最大射程时的最大高度是它的四分之一。

推导

运动方程可用于计算轨迹的特性。

让

t\;

为抛射体飞行的时间

d_{h}(t)\;

为时间 t 时的水平位移

d_{v}(t)=z\;

为时间 t 时的垂直位移

v_{h}\;

为水平速度（保持不变）

v_{v}\;

为向上初始垂直速度

v\;

为初始速度

v_{v}(t)\;

为时间 t 时的垂直速度

沿着水平方向， $v_{h}$ 是一个常数，因此根据运动方程，

d_{h}(t)=v_{h}t\;

（公式 1）

垂直距离，或者说是高度，遵循着恒定负加速度 $g$ 的运动方程

d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}

（公式 2）

v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}(t)=v_{v}-gt

（公式 3：速度方程，是公式 2 的导数）

当 $d_{v}(t)$ 再次为零并与地面相交时，就会发生抛射体的射程。当公式 2 中的 $d_{v}$ 为零时，就会发生这种情况。

0=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}

求解时间 $t$ 可得到抛射体飞行的时间。

t={2v_{v} \over g}

（公式 4：抛射体的“悬空时间”）

当公式 4 代入公式 1 时，最大射程就会出现。

d_{h}(t)={v_{h}t}={v_{h}({2v_{v} \over g})}={{2v_{h}v_{v}} \over g}

（公式 5：抛射体的射程）

在给定的轨迹中，最大高度出现在垂直速度为零时。因此将公式 3 设置为零。

0=v_{v}-gt\;

求解 $t$

t={{v_{v}} \over g}

这可以代入公式 2 得到最大高度。

d_{v}(max)=v_{v}({v_{v} \over g})-{\frac {1}{2}}g({v_{v} \over g})^{2}={{v_{v}}^{2} \over 2g}

（公式 6：抛射体的最大高度）

因此，毫不奇怪，对于给定的初始速度，如果初始速度是直线向上，则达到的高度最高。这个高度是射程最大时达到高度的两倍。

极坐标系中的推导

就仰角而言 $\theta$ 和初始速度 $v$

v={\sqrt {{v_{h}}^{2}+{v_{v}}^{2}}}

v_{h}=v\cos \theta \;

v_{v}=v\sin \theta \;

将公式代入公式1得出

d_{h}=v_{h}t=vt\cos \theta \;

(公式1a)

将公式代入公式2得出

d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}=(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}

(公式2a)

取导数得到垂直速度

v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}={\frac {d}{dt}}(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}=v\sin \theta -gt

(公式3a: 垂直速度)

以上公式4中计算的滞空时间可以用仰角表示

t={2v_{v} \over g}={{2v\sin \theta } \over g}

(公式4a)

公式4a可以代入公式1a，得到水平距离或射程

d_{h}=v_{h}t={vt\cos \theta }=v({{2v\sin \theta } \over g})\cos \theta ={{2v^{2}\sin \theta \cos \theta } \over g}

现在使用三角恒等式对于 $2\sin \theta \cos \theta =sin2\theta$

d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}

(公式5a: 抛射体的射程)

可以解出角度 $\theta$ 得到命中距离为 $d_{h}$ 目标的“角度”方程

{\theta }={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}({{gd_{h}} \over {v^{2}}})

(公式7: 抛射体发射角)

请注意，正弦函数是这样的，对于给定的范围 $d_{h}$ ， $\theta$ 存在两个解。在物理上，这对应于直接射击和迫击炮射击，迫击炮射击需要向上和越过障碍物到达目标。

对于给定的射程，最大高度可以通过在公式 3a 中将垂直速度设置为零并解出 $t$ 来确定。

0=v\sin \theta -gt\;

t={\frac {v\sin \theta }{g}}

（重新排列并解出

t

）

现在将它代入垂直高度方程 2a

d_{v}=(v\sin \theta )t-{\frac {gt^{2}}{2}}=(v\sin \theta )({\frac {v\sin \theta }{g}})-{\frac {g({\frac {v\sin \theta }{g}})^{2}}{2}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{g}}-{\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}

（公式 6a：给定发射角度的最大高度）

最大射程

根据上述射程和高度方程，可以确定最大射程和高度。可以通过将公式 5 和 5a 的导数设置为零来确定最大射程。对于公式 5，弹丸的射程是 $v_{h}$ 和 $v_{v}$ 的函数，使得 $v_{v}^{2}+v_{h}^{2}=v^{2}$ ，其中 v 是总初始速度，是一个常数。因此，射程可以表示为 $v_{v}$ 的函数，方法是解出 $v_{h}$ 。

v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}

（公式 8）

并将 $v_{h}$ 代入公式 5

d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}} \over g}

最大 $d_{h}$ 可以通过计算导数并将其设为零来确定。导数的计算方法如下：

{\frac {d}{dv_{v}}}d_{h}={1 \over g}{\frac {d}{dv_{v}}}{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d}{dv_{v}}}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}

（应用乘积法则）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}{d{v_{v}}^{2}}}{\frac {d{v_{v}}^{2}}{dv_{v}}})

（应用链式法则）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}({\frac {-1}{2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}})2v_{v})

（求导平方根）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})

（简化第二项）

设为零并求解 $v$

0={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})

{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}={\frac {{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}

v^{2}-{v_{v}}^{2}=v_{v}^{2}

v^{2}=2v_{v}^{2}

(公式 9)

因此，当 $v^{2}$ 为 $2v_{v}^{2}$ 时，射程最大，将其代入公式 8。

v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}={\sqrt {2v_{v}^{2}-v_{v}^{2}}}=v_{v}

因此，当 $v_{h}=v_{v}$ 时，射程最大。

现在，将 $v_{h}=v_{v}$ 和公式 9 代入公式 5，可以计算出实际的最大射程。

d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}v_{v}} \over g}={{2v_{v}^{2}} \over g}={v^{2} \over g}

极坐标系中的最大射程

从公式 5a 开始，也可以得出相同的结论。

{\frac {d}{d\theta }}d_{h}={\frac {d}{d\theta }}{{v^{2}\sin 2\theta } \over g}

={\frac {v^{2}}{g}}{\frac {d}{d2\theta }}\sin 2\theta {\frac {d2\theta }{d\theta }}

（应用链式法则）

={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )2\quad

将方程设为零并求解 $\theta$

0={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )2

0=\cos 2\theta \quad

现在余弦在 $\pi \over 2$ 处为零

2\theta ={\frac {\pi }{2}}

（从公式 5a 中也可以直接得出，它给出了正弦的最大可能值 1）

{\theta }_{\max }={\frac {\pi }{4}}

弧度

因此，当角度为 45 度时，射程最大。

现在，可以通过将 45 度代入公式 5a 来计算实际的最大射程

d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}={{v^{2}\sin 2({\frac {\pi }{4}})} \over g}={v^{2} \over g}

最大射程时的最大高度

公式 6 和 6a 可用于计算最大射程时的最大高度。将公式 9 代入公式 6

d_{v}={\frac {v_{v}^{2}}{2g}}={\frac {({\frac {v^{2}}{2}})}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}

同样地，可以将 45 度代入公式 6a

d_{v}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}({\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}

作为抛物线

方程 1 和 2 是描述抛物线的参数方程。通过对方程 1 求解 $t$ 并代入方程 2，可以将它们重新排列成更常见的二次形式。

t={\frac {d_{h}}{v_{h}}}

（对方程 1 求解

t

）

将此代入方程 2

d_{v}=v_{v}t-{\frac {gt^{2}}{2}}=v_{v}({\frac {d_{h}}{v_{h}}})-{\frac {g({\frac {d_{h}}{v_{h}}})^{2}}{2}}=-{\frac {g}{2{v_{h}}^{2}}}(d_{h})^{2}+{\frac {v_{v}}{v_{h}}}(d_{h})

现在它采用以下形式

y=ax^{2}+bx+c\quad

其中

y=d_{v},x=d_{h},a=-g/{2{v_{h}}^{2}},b=v_{v}/v_{h},c=0

.

这表示抛物线的形式，因此轨迹为抛物线。

同样，方程 1a 和 2a 可以重新排列成二次形式。方程 1a 可以重新排列成

t={\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}

并将此代入方程 2a

d_{v}=vt\sin \theta -{\frac {gt^{2}}{2}}=v\sin \theta {\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}-{\frac {g{({\frac {d_{h}}{v\cos \theta }})}^{2}}{2}}

现在 $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$ ，因此

d_{v}=-{\frac {g}{2v^{2}{\cos }^{2}\theta }}d_{h}^{2}+d_{h}\tan \theta

（方程 10）

现在，它再次以 $y=ax^{2}+bx+c$ 的形式出现，其中 $y=d_{v}\,$ ， $x=d_{h}\,$ ， $a=-g/{2v^{2}{\cos }^{2}\theta }\,$ ， $b=\sin \theta /\cos \theta$ 以及 $c=0\,$ ，证明了这是一个抛物线。