同调代数/阿贝尔范畴

定义 ($Ab$-富集范畴):

一个$Ab$-富集范畴是一个范畴${\mathcal {C}}$，使得

1. $\forall a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，${\mathcal {C}}(a,b)$ 是一个阿贝尔群。
2. $\forall a,b,c\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，$\circ _{a,b,c}:{\mathcal {C}}(b,c)\times {\mathcal {C}}(a,b)\to {\mathcal {C}}(a,c)$ 是双线性的。

定义（零对象）:

一个零对象是在一个$Ab$-富集范畴中的对象，它既是初始对象，也是终结对象。我们通常用$\mathbf {0}$ 表示它。

定义（双积）:

给定一个$Ab$-富集范畴${\mathcal {C}}$，$a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$ 的双积是一个元组$(c,i_{1}:a\to c,p_{1}:c\to a,i_{2}:b\to c,p_{2}:c\to b)$，使得

1. $p_{1}\circ i_{1}=1_{a}.$
2. $p_{2}\circ i_{1}=0_{a,b}.$
3. $p_{1}\circ i_{2}=0_{b,a}.$
4. $p_{2}\circ i_{2}=1_{b}.$
5. $i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{c}.$

我们通常用 $a\oplus b$ 表示 $c$.

定义（加法范畴）:

一个加法范畴是 $Ab$-富集范畴 ${\mathcal {C}}$，使得

1. 在 ${\mathcal {C}}$ 中存在零乘积。
2. 对于每个 $a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，都有一个双积。

定义（（共）核）:

在 $Ab$-富集范畴中，给定 $f:a\to b$。$f$ 的（共）核是 $f$ 和 $0_{a,b}$ 的（共）均衡器。

定义（阿贝尔范畴）:

一个阿贝尔范畴是一个加法范畴，其中

1. 每个态射都有一个核和一个余核。
2. 每个单态射都是一个核，每个满态射都是一个余核。

例子:

环 $R$ 的所有左 $R$-模的范畴是一个阿贝尔范畴。

练习

1. 在 $Ab$-富集范畴中，给定一个有零对象的 $f:a\to b$。证明 $f=0_{a,b}$ 当且仅当 $f$ 通过 $\mathbf {0}$ 因子分解。

1. 给定一个 $(a\oplus b,i_{1},p_{1},i_{2},p_{2})$ 的 $a$ 和 $b$ 的双积。证明 $(a\oplus b,i_{1},i_{2})$ 是 $a$ 和 $b$ 的余积，并且 $(a\oplus b,p_{1},p_{2})$ 是 $a$ 和 $b$ 的积。

1. 在一个具有零对象的 $Ab$ 富集范畴中， $f:a\to b$ 的核可以等价地表征为 $\mathbf {0} \to b$ 沿着 $f$ 的拉回。