数列与级数

数字模式

数学中一项重要的技能是能够

• 识别数字集中的模式，
• 描述模式的文字，以及
• 继续模式

一个数字列表，其中有一个模式，称为数字序列。序列的成员（数字）被称为它的项。

例子

$3,7,11,15,\ldots$

以上是一种数字序列。第一项是$3$，第二项是$7$，等等。序列的规则是“序列从 3 开始，每一项比前一项多 4。”

等差数列

等差数列是一个序列，其中每一项都比前一项多一个固定的数

$2,5,8,11,14,\ldots$是等差的，因为$5-2=8-5=11-8=14-11$等等

代数定义

在等差数列中，$n$项定义如下

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

其中$d$定义为

$d=a_{n+1}-a_{n}$

此处，符号如下

$a_{1}$是序列的第一项。

$n$是序列的项数。

$d$ 是算术数列中各项之间的公差。

例子

给定数列 $1,3,5,7,\ldots ,n$，符号的值如下

${\begin{aligned}d&=a_{n+1}-a_{n}\\d&=a_{2}-a_{1}=3-1\\d&=2\end{aligned}}$

以及

$a_{1}=1$

因此

${\begin{aligned}a_{n}&=a_{1}+(n-1)d\\a_{n}&=1+(n-1)2\\a_{n}&=1+2n-2\\a_{n}&=2n-1\end{aligned}}$

因此我们可以确定数列中的任何值

$a_{5}=2(5)-1=10-1=9$

算术级数

算术级数是算术数列中连续项的加和。

$21+23+27+\cdots +49$

算术级数的和

回想一下，如果首项为 $a_{1}$ 且公差为 $d$，则这些项为

$a_{1},a_{1}+d,a_{1}+2d,a_{1}+3d,\ldots$

假设 $a_{n}$ 是算术级数的最后一项。则，其中 $S_{n}$ 是算术级数的和

${\begin{matrix}&S_{n}&=&a_{1}&+&(a_{1}+d)&+&(a_{1}+2d)&+&\cdots &+&(a_{n}-2d)&+&(a_{n}-d)&+&a_{n}\\+\\&S_{n}&=&a_{n}&+&(a_{n}-d)&+&(a_{n}-2d)&+&\cdots &+&(a_{1}+2d)&+&(a_{1}+d)&+&a_{1}\\\hline \\&2S_{n}&=&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&\cdots &+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})\end{matrix}}$

可以看出，实际上有 $n$ 个完全相同的项，因此

${\begin{matrix}2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\\S_{n}={\dfrac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}\end{matrix}}$

等比数列

如果一个数列的每一项都是前一项乘以同一个非零常数所得，那么这个数列就称为*等比数列*。

$2,10,50,250,\ldots$ 是一个等比数列，因为 $2\times 5=10$ 以及 $10\times 5=50$ 以及 $50\times 5=250$ 。

注意

${\frac {10}{2}}={\frac {50}{10}}={\frac {250}{50}}=5$

即，每一项除以前一项都是一个非零常数。

代数定义

$\{a_{n}\}$ 是等比数列$\iff {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=r$ 对所有正整数 $n$ 都成立，其中 $r$ 是一个常数（公比）。

几何平均数

如果 $a,b,c$ 是等比数列中的任何三个连续项，则

${\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}$ {等比数列的公比相等}

因此

$b^{2}=ac$ 因此 $b=\pm {\sqrt {ac}}$ 其中 ${\sqrt {ac}}$ 是 $a,c$ 的几何平均数。

通项公式

假设等比数列的首项为 $a_{1}$，公比为 $r$。

则 $a_{2}=a_{1}r$ 因此 $a_{3}=a_{1}r^{2}$ 等等。

所以 $a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

$a_{1}$是序列的第一项。

$n$ 是通项。

$r$ 是等比数列中相邻项之间的公比。

复利

复利是指在原始投资基础上产生的利息。利息被 _添加_ 到本金中。因此，每次时间段投资都会大幅增长。

考虑以下情况：

你将 $1000 投资到银行。你将钱留在银行 3 年。你每年获得 10% 的利率。利息每年都会添加到你的投资中。

每年支付 10% 的利率，_增加_ 你的投资价值。

你每年增加的百分比是 10%，即

$100\%+10\%=110\%$

因此，当年年初价值的 110%，对应于 _乘数_ 1.1。

一年后，你的投资价值为

$1000\$\times 1.1=1100\$$

两年后，它价值为	三年后，它价值为
$1100\$\times 1.1$	$1210\$\times 1.1$
$=1000\$\times 1.1\times 1.1$	$=1000\$\times (1.1)^{2}\times 1.1$
$=1000\$\times (1.1)^{2}$	$=1000\$\times (1.1)^{3}$
$=1210\$$	$=1331\$$

注意

$a_{1}=1000\$$	初始投资
$a_{2}=a_{1}\times 1.1$	两年后的金额
$a_{3}=a_{1}\times (1.1)^{2}$	三年后的金额
$a_{4}=a_{1}\times (1.1)^{3}$	四年后的金额
$\vdots$
$a_{n+1}=a_{1}\times (1.1)^{n}$	经过 $n$ 年后的金额

一般来说，$a_{n+1}=a_{1}r^{n}$用于复利增长，其中

$a_{1}$ 是初始投资

$r$ 是增长倍数

$n$ 是年数

$a_{n+1}$ 是经过 $n$ 年后的金额