IB 数学（HL）/群论

此选项的目的是提供学习一些重要数学概念的机会，并通过抽象代数介绍证明原理。对于本主题，您不需要任何核心主题的背景知识。

朴素集合论

集合可以作为构建所有其他数学的基础。这被称为公理集合论。但公理集合论是一个非常正式的理论，对于日常数学使用来说过于繁琐。另一方面，集合是一个过于有用的数学结构，不适合只留给研究数学基础的专家。朴素集合论是指在不正式定义集合的情况下使用集合框架。这正是我们将要做的。

集合被（非正式地）定义为任何事物的集合

例如：原色的集合，我的兄弟姐妹的集合，正整数的集合。

一些集合可以通过列出其中的事物来描述

我们用逗号分隔事物，并使用花括号来表示它们属于一个集合。

例如：{红色，黄色，蓝色}，{唐娜，琳达，鲍比，朱莉，史蒂夫}

如果我们可以完全列出（枚举）集合中的所有事物，则该集合被称为有限集合。原色的集合和我的兄弟姐妹的集合是有限集合。如果一个集合不是有限的，则被称为无限集合。所有正整数的集合是一个无限集合。

一些集合可以通过枚举它们的规则来描述

正偶数的集合是无限的，因此我们无法列出它们。但是，我们可以将其写成 {2, 4, 6, …}。 “…”表示有一个规则可以用来构建一个包含该集合中每个成员的列表，即使该列表无法在有限的时间内完成。

问题

1. 明确说明构建正偶数集合的规则。

一个有趣的旁白：一些无限集合如此“大”，以至于无法写出构建所有成员列表的规则。实数集就是这样一种集合。

一些常见的数学集合

以下是一些您熟悉的常见数学集合。您需要能够识别这些符号。

$\mathbb {N}$

正整数的集合，$\{1,2,\ldots \}$

$\mathbb {Z}$

整数的集合

$\mathbb {Z} ^{+}$

正整数的集合，$\{1,2,3,\ldots \}$

$\mathbb {Q}$

有理数的集合

$\mathbb {Q} ^{+}$

正有理数的集合

$\mathbb {R}$

实数的集合

$\mathbb {R} ^{+}$

正实数集

$\mathbb {C}$

复数集

集合中的“东西”被称为集合的元素

如果某个东西（比如“x”）属于某个特定的集合（比如“S”），我们说“x是S的元素”。为了简洁地表达，我们写成

$x\in S$

数学家经常使用成员一词作为元素的同义词。例如，你会听到类似“2是正整数集合的成员”这样的说法。

集合相等的定义

如果S和T中所有元素相同，则两个集合S和T相等。毫不奇怪，我们把它写成

$S\mathbf {=} T$

以下是该定义的一些推论。

集合中元素的排列顺序并不重要

集合{红色，黄色，蓝色}等于（即与）集合{黄色，蓝色，红色}相同。为什么？看看相等性的定义。第一个集合中的每个元素都是第二个集合的元素，而第二个集合中的每个元素都是第一个集合的元素。所以这两个集合相等。

某个东西要么是集合的元素，要么不是；多次列出它不会有任何区别

集合{红色，红色，黄色，蓝色，红色}与（即等于）集合{红色，黄色，蓝色}相同，即使“红色”在第一个集合中被列出了多次。不要相信我的话；检查一下相等性的定义。

子集的定义

如果我们把相等集合的定义分成两个部分，会发生什么？假设我们只要求S的每个元素也是T的元素，而不要求“反过来”？例如，集合{红色，黄色，蓝色}中的每个元素都在集合{红色，橙色，黄色，绿色，蓝色，紫色}中，但反过来则不然。这种事情经常发生，因此我们给它一个名字。如果S的每个元素也是T的元素，我们就说S是T的子集。为了简洁地表达，我们写成

$S\subseteq T$

毫不奇怪，我们也会为“反过来”的部分创建一个定义。也就是说，如果T的每个元素都是S的元素，我们就说S是T的超集。我们把它写成

$S\supseteq T$

请注意，$\subseteq$ 和 $\supseteq$ 这些符号是为集合定义的，而 $\leq$ 和 $\geq$ 这些符号是为数字定义的。这不是偶然的。集合之间的子集关系与整数之间的小于或等于关系并不相同，但这两个关系确实有很多相似之处。（你能想到多少个？）良好的数学符号通常会暗示这些相似之处。

问题

1) $\mathbb {N} \supseteq \mathbb {Z}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \supseteq \mathbb {N}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} ^{+}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z}$ 是否成立？

2) 如果集合 S、T 和 U 满足

$S\subseteq T$

以及

$T\subseteq U$,

你能说明 S 和 U 之间的关系吗？用 $\subseteq$ 的定义来证明你的结论。你还记得这个性质叫什么吗？

3) 将上面列出的常用数学集合中尽可能多的集合按子集顺序排列，即

? $\subseteq$ ? $\subseteq$ ? $\subseteq$ …

子集、超集和相等之间的关系

回顾定义，我们发现对于两个集合 $S$ 和 $T$，

$S\mathbf {=} T$

当且仅当

$S\subseteq T$ 和 $S\supseteq T$

同时成立。

问题

1) 对于实数，$\leq$ 和 $\geq$ 的类似语句是什么？这个语句成立吗？

2) 对于 $\mathbb {N}$ 中的 x 和 y， 要么 x $\leq$ y 要么 x $\geq$ y。对于集合来说，$\subseteq$ 和 $\supseteq$ 是否也适用？

“真”子集

有时候我们有 $S\subseteq T$， 我们想排除 $S\mathbf {=} T$ 的可能性。为此， 我们写

$S\subset T$

即我们省略 $\subset$ 下面的横线。用文字来说，我们称 S 是 T 的真子集。这里使用“真”这个词有点滑稽。它并不意味着存在更准确或更礼貌的表达方式，只是数学家用来避免说“S 是 T 的子集，但它不等于 T”的术语。类似地，

$S\supset T$

读作“S 是 T 的真超集”，是写

$S\supseteq T$ 和 $S\neq T$ 的简短写法。

问题

1. 对于任意集合 S，以下哪些是正确的？

$S\subseteq S$

$S\subset S$

$S\mathbf {=} S$

$S\supseteq S$

$S\supset S$

2. 假设 S = {2, 4, 6}。对于以下每个集合 T，列出 S 和 T 之间的所有关系。

T = {6, 4, 2}

T = {2, 4, 4}

T = {2, 6, 10}

T = {2, 4, 6, 10}

T = {1, 3, 5}

可能的最小集合

是否存在一个集合 X 是所有可能集合 S 的子集？是的。我们可以有一个没有任何元素的集合。子集的定义说，如果 X 的每个元素也是 S 的元素，那么 X 就是 S 的子集。如果 X 没有元素，那么无论 S 包含哪些元素，这个说法都是正确的。

我们称不包含任何元素的集合为空集。有时它被写成

{ }

但更常见的是，我们把它写成

$\emptyset$

再次注意，集合 $\emptyset$ 和数字 0 的表示符号之间的相似性。就像对于任何自然数 n，$0\leq n$，对于任何集合 S，$\emptyset \subseteq S$。

组合集合：并集和交集

到目前为止，我们已经根据成员关系定义了集合对上的各种关系 $(=,\subset ,\subseteq ,$等)。同样，定义操作，接受两个集合并形成第三个集合也是有用的。我们再次将这些操作定义为成员关系。

首先定义两个集合 S 和 T 的 **交集** 为包含任何元素的集合，这些元素既是 S 的元素，又是 T 的元素。我们将交集操作写为

$S\cap T$

类似地，我们将定义两个集合 S 和 T 的 **并集** 为包含任何元素的集合，这些元素是 S 的元素或 T 的元素。我们将并集操作写为

$S\cup T$

如果您难以区分 $\cap$ 和 $\cup$，请记住 $\cup$ 看起来像 U，代表 Union（并集）。

问题

1. 如果 S = {1, 2, 3} 且 T = {2, 3, 4}，则 $S\cap T$ 等于多少？$S\cup T$ 等于多少？

2. 对于 **任何** 集合 S 和 T，以下陈述是否为真？

$S=(S\cap S)$

$S\subseteq (S\cup S)$

$S\subseteq (S\cup T)$

$S\subset (S\cap T)$

$S\supset (S\cup T)$

如果是这样，请解释原因。如果不是，请给出反例。

文氏图

在做数学时，画图来帮助可视化问题通常很有用。对于基本的集合运算，有一种传统的画图方法称为文氏图，以英国数学家约翰·文恩的名字命名。要画出一个集合 S，我们只需画一个圆圈，并将集合的名称写在圆圈内。

这种图的意图是，圆圈的内部代表集合 S 中的所有元素。圆圈的外部代表所有不在集合 S 中的元素。我们使用圆圈作为文氏图没有特殊意义。我们也可以画

或 File:Trivial Pentagonal Venn Diagram

现在，要表示两个集合上的操作，我们画两个重叠的圆圈，如下所示

File:Simple Venn Diagram

如果您有彩色铅笔，您可以用红色涂 S 的内部，用蓝色涂 T 的内部，如下所示

File:Colored Simple Venn Diagram

现在，我们可以描述所有着色的区域。圆圈之间紫色的重叠部分代表 。如果您没有彩色铅笔，可以画出圆圈并阴影您要描述的区域。例如，您可以画出类似以下内容：

表示。为了表示，您只需要将两个圆的重叠部分涂上阴影。(我应该演示一下，但我用来编写此内容的文字处理器无法轻松做到这一点。)如果我们从未组合超过两个集合，那么韦恩图就没有足够的有用性，值得我们去学习。但当我们想要说明三个集合之间的关系时，它们就非常有用。在这种情况下，我们绘制三个重叠的圆，如下所示

问题：通过为 S、T 和 U 绘制 3 个重叠的圆，然后只对描述的区域进行阴影，来说明以下集合运算

一旦我们获得超过三个集合，韦恩图就不那么有用了。问题是我们无法简单地绘制四个圆来显示所有可能的交集组合。因此，韦恩图主要是一个入门学习工具。问题：绘制一个韦恩图（不限于圆形），它描述了四个集合之间所有可能的交集组合。你能做到最好的是什么？

集合补集（第一次尝试）

对于集合，我们想要定义另一个运算——补集。这个运算是一种一元运算，意味着它只接受一个集合作为参数。（交集和并集被称为二元运算，因为它们接受两个集合作为参数。）集合 S 补集背后的理念是，它应该准确地包含集合 S 不包含的元素。我们将 S 的补集写为 S′（您经常看到的另一种符号是）。因此，我们可能尝试将 S 的补集定义为“所有不是 S 元素的元素集合”。例如，如果 S 是奇数整数集，那么 S 的补集将包含所有偶数整数。但根据我们的定义，S 的补集还将包含我的姐姐 Donna、红色和情人节，因为它们也不在 S 中。因此，补集将包含各种无用的垃圾。如果这是一个日常的谈话，我们就可以简单地将这些垃圾视为与我们的对话无关，并将其忽略。但在数学中，我们喜欢比这更精确。我们的解决方案是引入“全集”的概念。

全集

包含所有正在考虑的元素的集合称为全集。它通常由英文大写字母 U 表示。全集仅仅是我们当前正在讨论的所有事物的集合。术语“全集”具有误导性。它不是一个包含宇宙中所有事物的集合。它也不是普遍的，每个人都同意使用它。也许更好的术语应该是“话语的宇宙”。如果我们对实数做陈述，那么我们说我们的全集是实数集。另一方面，如果我们讨论的是自然数，我们的谈话的宇宙将是所有自然数的集合。另一种思考方式是使用韦恩图。我们可以将集合 S 绘制为

阴影区域表示 S 中的元素。但我们如何给图着色来表示 S 的补集呢？我们想要给圆形外部着色。但我们在哪里停止？“向外一点”？到纸的边缘？也许纸的背面也是？全集使我们清楚地知道在哪里停止

请记住，定义全集的唯一原因是在进行集合补集时消除歧义。如果我们不打算使用集合补集，那么我们就不需要担心我们的全集是什么。

集合补集（真正的补集）

现在我们有了全集的概念，我们将给出集合补集的真实定义：集合 T 的补集是包含所有在全集中但不在 T 中的元素的集合。问题：假设 R、S 和 T 是某个全集 U 的子集。绘制韦恩图以确定以下语句是否总是为真。

（您之前在标题为“组合集合：并集和交集”的部分中遇到过这个问题。您这次得到相同的答案了吗？如果没有，韦恩图是否误导了您？在用真子集解释韦恩图时，您必须小心。）

德摩根定律

在数学中，术语“定律”描述了一个可以从更基础的数学中证明的陈述。有许多同义词：公理、定理、推论等。术语“定律”通常与很久以前发现的陈述一起使用，通常是在该数学领域正式化之前。德摩根定律以奥古斯都·德摩根命名，它们是

以及

注意这两个语句之间的对称性。如果您取一个语句并交换 和 ，您就会得到另一个语句。德摩根定律很重要，因为它们提供了一种将补集从复杂表达式的“外部”移动到“内部”的方法。通过反复应用德摩根定律，我们可以将任何包含补集的复杂表达式转换为具有简单集合补集的等效表达式。例如

在最后一步中，我们利用了二次补集会使我们回到原始集合的事实，即对于任何集合 S，

问题：使用韦恩图来证明德摩根定律是正确的。使用德摩根定律将这些表达式转换为只有基本集合补集的等效表达式。

其他有用定律

有许多定律涉及交集、并集和补集运算的各种组合。形式为 X = Y 的定律特别有用，因为我们可以用它们将一个表达式转换为其他等效表达式。这里有一些具有这种形式的有用定律。每个定律右侧是一个文字描述。并集是可交换的 交集是可交换的 当运算可交换时，我们不必关心操作数的顺序。并集是结合的 交集是结合的 当运算结合时，我们可以删除不必要的括号。例如，我们可以写，因为 和 之间没有区别。

	intersection distributes over union

这类似于对于实数，乘法对加法具有分配律的事实。也就是说，。如果我们将 换成 *，将 换成 +，我们就会得到上面的定律。还要注意，并集不对交集具有分配律，就像对于实数，加法不对乘法具有分配律一样。接下来的两条定律包括 U，即全集。排中律 这是排中律，因为全集中的任何元素要么是 S 的元素，要么不是 S 的元素。没有中间地带。全集是交集的单位元 这表明与全集取交集不会产生任何变化，就像将一个实数乘以 1 不会产生任何变化一样。问题：使用韦恩图验证上述每条定律。

交集并集形式

确定两个集合表达式之间关系的一个好的起点是将它们都简化为交集并集形式。这是一种形式为 (? ? … ?) (? ? … ?) (? ? … ?) … (? ? … ?) 的表达式，其中所有问号都是命名的集合或其补集。例如，表达式

处于交集并集形式。这类似于 R 上的表达式的积之和形式，例如

或者，按照省略乘法符号和额外括号的常用约定，

问题：需要哪些数学属性和/或符号约定才能从前一行得到上一行？这里有一个将任何集合表达式转换为交集并集形式的一般技术，反复应用德摩根定律将所有补集移动到命名的集合。反复应用分配律将交集并集转换为并集交集。充分利用结合律来消除不必要的括号，并利用交换律来将事物排列在适当的顺序。这里是一个简单的例子。

（我最初打算进一步讨论这个主题，也就是说，开发一个完整的算法来确定两个集合表达式是否等效（或者是否有子集关系）。但我认为它会涉及太多细节，所以我将在这里停止。问题：确定以下关系是否总是为真。首先将表达式的两边转换为交集并集形式。

集合的集合

在本主题的开头，我说过集合可以用来构建整个数学体系。这是因为集合的元素本身也可以是集合。例如，考虑集合 S = {1, {1}, {1, {1}}}。这个集合有三个元素：数字 1，集合 {1} 和集合 {1, {1}}。在处理集合的集合时，重要的是不要混淆集合的元素和集合的子集。例如，如果 S = {1, {1}, {1, {1}}}，那么数字 1 是 S 的元素，而不是 S 的子集。另一方面，集合 {1} 既是 S 的元素，也是 S 的子集。这怎么可能呢？让我用不同的颜色写出 S 中的每一个元素。S = {1, {1}, {1, {1}}} 现在 {1} 明显地是 S 的一个元素。但除此之外，{1} 也是 S 的子集，但原因不同。 问题：集合 {1, {1}} 是 S 的元素吗？是 S 的子集吗？ 问题：集合 {1, {1, {1}}} 是 S 的元素吗？是 S 的子集吗？ 集合 S 有多少个子集？列出它们。 假设我们从空集 Ø 开始。如果它是数学宇宙中唯一的东西，我们还能用它构建哪些其他的集合呢？只有一个可能性，那就是把它放到一个集合中，也就是 {Ø}。Ø 和 {Ø} 真的不同吗？Ø 有多少个元素？{Ø} 有多少个元素？ 因此，我们现在有两个集合，Ø 和 {Ø}。我们能用它们构建哪些新的集合呢？好吧，一个可能性是拥有一个只包含 {Ø} 的集合，即 Template:Ø。 （集合 Template:Ø 和 {Ø} 只有一个元素；我们如何确保它们不是同一个集合？提示：使用集合相等的定义。） 但是从 Ø 和 {Ø}，我们也可以构建集合 (Ø, {Ø})。这显然是一个新的集合，因为它有两个元素——这是我们迄今为止最大的集合！ 问题：通过对我们目前知道的四个集合 (Ø, {Ø}, Template:Ø 和 (Ø, {Ø}) ) 进行集合运算，你能构建多少个新的集合？列出它们。 设计一个程序，它可以接受任何集合（包括空集），并生成一个新的（不同的）集合。从空集开始，写出你的程序重复应用于先前生成的集合时产生的前 6 个集合。你的程序会产生两次相同的集合吗？如果是，写一个永远不会重复的第二个程序。如果你的第一个程序永远不会重复，写一个会重复的第二个程序。 从集合中构建自然数 你可能感到惊讶，但你在上一个问题集中已经构建了自然数！你可能没有认出来，因为你用不熟悉的符号写了它们。但我们如何写（或发音）数字对它们的意义没有任何影响。在英语中，我们说“零、一、二、三，……”，而在法语中，我们说“zéro, un, deux, trois, …” ，但数字并没有什么不同。同样地，我们可以使用不同的数学符号，比如 0, 1, 2, 3, … 或者 <nothing>, I, II, III, …，底层的数字本身不会有任何不同。重要的是数字的性质。对于自然数，重要的性质是： 对于任何 n ∈ N，存在一个函数（我们称之为“后继”函数，并将其写为 succ），其值为另一个自然数。 存在一个唯一的 n ∈ N，它不是任何其他自然数的后继。我们把这个数字称为“零”，并将其写为“0”。 对于任何非零的 n ∈ N，只有一个 m ∈ N 使得 n = succ(m)。 就这样。任何满足这些性质的物体集合本质上就是自然数。（稍后，我们会更精确地说明我们所说的“本质上”是什么意思。） 你知道的关于自然数的任何其他东西（加法、乘法的性质，……）都是自然的结果。很酷，对吧？我们现在不会真正证明这一点，但我们将在离散数学主题中证明。

罗素悖论

罗素悖论，以哲学家/数学家伯特兰·罗素的名字命名，是朴素集合论如何通过接受任何东西作为集合而陷入困境的标准例子。为了看到这一点，让我们将我们的全集 U 设为所有集合的集合，我们将考虑那些不包含自身作为成员的集合。（插曲：我们迄今为止看到的任何集合都不包含自身作为成员。实际上，有限集合不可能包含自身作为成员。但是关于无穷集合 Ц = …{{{{{{ Ø }}}}}}… 这是一个无穷集合，是序列 Ø, { Ø }, Template:Ø, {{{ Ø }}}, … 的极限。该序列中的每个集合只有一个元素。在 Ц 的情况下，它的元素是 …{{{{{{ Ø }}}}}}… 这正是 Ц。所以 Ц ∈ Ц，也就是说 Ц 包含自身。插曲结束。） 让我们把不包含自身的集合称为“合理”集合。显然，有很多合理的集合。我们将定义 R 为所有合理集合的集合。（你不能比这更合理了。） 所以 R ∈ R。但事实证明，R 体现了矛盾。为了看到这一点，问问自己“R 是一个合理的集合吗？” 如果你回答“是”，那么 R 包含 R，因为我们定义 R 为所有合理集合的集合。另一方面，根据合理性的定义，R 不包含 R。回答“否”对这个问题没有用。你仍然会得出结论，R 包含 R，而 R 不包含 R。 公理化集合论通过对集合的定义更加小心来解决这个悖论。事实证明，“所有集合的集合”不是公理化集合论中可以构建的东西。