IB 数学（HL）/级数与微分方程

本选修课的目的是介绍极限定理和级数的收敛性，并利用微积分结果来求解微分方程。在开始本选修课的任何工作之前，建议您复习核心课程大纲中的主题 1 和主题 7，因为这些主题的许多背景知识在本主题中会有所帮助。

调和级数

调和级数是发散无穷级数。其中一个例子是

$S_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

其中，观察到以下模式

• $s_{1}=1$

• ${s_{2}=1+{\frac {1}{2}}}={\frac {3}{2}}$

• ${s_{4}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=2$

• ${s_{8}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=2{\frac {1}{2}}$

• ${s_{16}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{16}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=3$

由此可以得出结论，模式将继续下去

$s_{32}>3{\frac {1}{2}}$ 并且 $s_{64}>4$,

因此，一般模式可以表示为

$s_{2^{n}}>1+{\frac {n}{2}}$