主题1 - 代数

引言

本节的目的是向考生介绍一些基本的代数概念和应用。数系现已列入预备知识部分。

数列与级数

级数是一系列数字的和。例如，

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...$

数列是由一系列数字组成的列表，通常用逗号分隔。数字的排列顺序很重要，例如，

$1,2,3,4,5,...$

有限与无限数列

对集合S中的有限数列的一个更正式的定义是从{1,2,...,n}到 $S$ 的一个函数，其中n ≥ 0。

S中的无限数列是从{1,2,...}（自然数集）到 $S$ 的一个函数。

等差数列

等差级数或数列仅仅涉及加法。

    1, 2, 3, 4, 5, ...

是加法的例子，其中每次都将1加到前一项。

求等差数列第n项的公式为

\ u_{n}=u_{1}+(n-1)d.

其中 $u_{n}$ 是第n项， $u_{1}$ 是第一项，d是公差，n是项数。

无限与有限等差级数的和

无限等差级数是一个项构成等差数列的无限级数。例如 1 + 1 + 1 + 1 + · · · 和 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·。

有限级数的和 (Sn) 为

$S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot (2u_{1}+(n-1)d)={\frac {n}{2}}\cdot (u_{1}+u_{n})$ .

等比数列与级数

有限与无限等比级数的和

等比级数是一个各项之间存在恒定比率的级数。每一项都可以通过将前一项乘以'r'得到。

等比数列的第n项

{\begin{aligned}u_{n}=u_{1}\cdot r^{n-1}&.\end{aligned}}

$S_{n}={\frac {u_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}={\frac {u_{1}(1-r^{n})}{1-r}}$ .

所有项的和（无限等比数列）：如果 -1 < r < 1，则

$S={\frac {u_{1}}{1-r}}$

指数

$a^{x}=b$ 等价于 $log_{a}\cdot b=x$

${\begin{aligned}a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,\end{aligned}}$

指数运算法则

代数部分要求理解指数并进行指数运算。指数函数的一个例子是 $a^{c}$ ，其中 a 被提升到 $c^{th}$ 次方。指数是通过将较小的数字自身乘以与较大数字相同次数来计算的。例如， $2^{3}=2\times 2\times 2=8$ 。如果指数是分数，则表示根。例如， $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$ 。以下是需要记住的指数运算法则

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
$(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

对数

对数运算法则

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y\,\!$

$\log _{b}({\frac {x}{y}})=\log _{b}x-\log _{b}y$

$\log _{b}x^{y}=y\log _{b}x\,\!$

换底公式 (Huàn dǐ gōngshì)

\log _{b}(a)={\frac {\log _{c}(a)}{\log _{c}(b)}}.

此外，这个结果表明所有对数函数（无论底数是什么）彼此相似。因此，要使用计算器计算以 2 为底 16 的对数 (Duìshù)

\log _{2}(16)={\frac {\log(16)}{\log(2)}}.

二项式定理 (Èr xiàng shì dìnglǐ)

二项式展开定理 (Èr xiàng shì zhǎnkāi dìnglǐ) 用于展开诸如 $(x+y)^{n}$ 这样的函数，而无需经过通过常规方法展开它所需的繁琐工作。

$(x+y)^{n}=_{n}C_{0}x^{n}y^{0}+_{n}C_{1}x^{n-1}y^{1}+_{n}C_{2}x^{n-2}y^{2}+...+_{n}C_{r}x^{n-r}y^{r}+...+_{n}C_{n}x^{0}y^{n}\,\!$

对于这个等式，基本上会遍历函数最终乘积中出现的指数 ( $x^{n}y^{0}+x^{n-1}y^{1}+x^{n-2}y^{2}+...+x^{0}y^{n}$ )。由此， $C_{n}$ 用作系数，其中 $C$ 等于帕斯卡三角形 (Pàsikǎ sānjiǎoxíng) 中行的行号，而 $n$ 是该行中的特定数字。

例如： $7_{5}=35$

帕斯卡三角形 (Pàsikǎ sānjiǎoxíng)

                  1                      =Row 0
                1   1                    =Row 1
              1   2   1                  =Row 2
            1   3   3   1                =Row 3
          1   4   6   4   1              =Row 4
        1   5  10  10   5   1            =Row 5
      1   6  15  20  15   6   1          =Row 6
    1   7  21  35  35  21   7   1        =Row 7
  1   8  28  56  70  56  28   8   1      =Row 8
1   9   36 84 126 126  84  36   9   1    =Row 9