IB 数学 SL/微积分

导言

微积分被许多人认为是 IB SL 数学课程中较难的章节之一。

一般方程式

在 f(X) 中 x=a 和 x=b 之间的平均变化率 (AROC)

平均变化率 = ${\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}$

x=a 处的瞬时变化率 (IROC) 是 x=a 处切线的斜率

瞬时变化率 =$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

函数 f(x) 的导数 f'(x) 的定义（微积分的第一原理）

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

基本微分

以下公式是求导数的捷径

幂函数的导数

$f(x)=ax^{n}\,\!$ , $f'(x)=anx^{n-1}\,\!$

指数函数的导数

$f(x)=e^{x}\,\!$ , $f'(x)=e^{x}\,\!$

对数函数的导数

$f(x)=\ln x\,\!$ , $f'(x)={\frac {1}{x}}\,\!$

三角函数的导数

$f(x)=\sin x\,\!$ , $f'(x)=\cos x\,\!$

$f(x)=\cos x\,\!$ , $f'(x)=-\sin x\,\!$

$f(x)=\tan x\,\!$ , $f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x\,\!$

两个函数之和的导数

$f(x)=g(x)+h(x)\,\!$ , $f'(x)=g'(x)+h'(x)\,\!$

链式法则

$f(x)=g(h(x))\,\!$ , $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\,\!$

乘积法则

$f(x)=uv\,\!$ , $f'(x)=uv'+vu'\,\!$

商法则

$f(x)={\frac {u}{v}}\,\!$ , $f'(x)={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}\,\!$

导数的应用

导数是函数中一个点的斜率。斜率是变化率。因此，通过导数可以确定给定点的变化率。在位移图中，时间用 x 表示，位置用 y 表示，函数图上任何一点的导数表示该位置的变化率；这被称为速度。速度图的导数表示加速度。

积分简介

积分求曲线下的面积，也被称为反导数。这意味着，如果找到导数的积分，就会得到原始方程，但会带有一个任意常数 c。一种记录在案的积分方法是使用 u 替换法。

基本积分

积分（来自拉丁语 integer，意思是完整或全部）通常意味着将各个部分组合在一起，使它们协同工作或形成一个整体。在信息技术中，有几种常见的用法

1) 产品开发过程中的集成是将单独生产的组件或子系统组合在一起并解决其交互问题。

2) 集成是由专门从事将不同制造商的产品组合在一起以形成平稳运行系统的公司的活动。

3) 在营销使用中，据说集成的产品或组件符合以下一个或多个条件

A) 它们具有共同的目的或目标集。（这是最松散的集成形式。）

B) 它们都遵循相同的标准或一组标准协议，或者它们共享一种中介功能，例如公共对象请求代理体系结构 (CORBA) 中的对象请求代理 (ORB)。

C) 它们都是同时设计，具有统一的目的和/或架构。（它们可以作为零部件出售，但它们是在相同的更大目标和/或架构下设计的。）

D) 它们共享一些相同的编程代码。

E) 它们共享一些代码的特殊知识（例如更低级别的程序接口），这些知识可能是公开的，也可能不是公开的。（如果不是公开的，公司可能会起诉使其公开，以便竞争公平。）

积分规则

对数函数的积分

指数函数的积分

三角函数的积分

积分的应用

曲线下的面积

积分主要用于求曲线下的面积。

例子

令 $f(x)=2x^{2}+3$

求从 $x=3$ 到 $x=7$ 曲线下的面积。

解

$f(x)=2x^{2}+3$

$A=\int _{3}^{7}f(x)dx$

$A=\int _{3}^{7}(2x^{2}+3)dx$

$A=\left[{\frac {2(7)^{3}}{3}}\right]-\left[{\frac {2(3)^{3}}{3}}\right]$

$A=\left[{\frac {686}{3}}\right]-\left[{\frac {54}{3}}\right]$

$A={\frac {632}{3}}$

总行程

在一个速度-时间函数中，行程可以通过对从初始时间到结束时间的定积分进行求解。

例子

令 $v(t)=t^{2}$ 单位每秒是描述一个粒子运动的速度-时间函数。

求粒子从 $t=2$ 秒到 $t=5$ 秒的行程。

解

$v(t)=t^{2}$ 单位

$t_{initial}=2$ 秒

$t_{final}=5$ 秒

$d=\int _{2}^{5}v(t)dt$ 单位

$d=\int _{2}^{5}t^{2}dt$ 单位

$d=\left[{\frac {(5)^{3}}{3}}\right]-\left[{\frac {(2)^{3}}{3}}\right]$ 单位

$d={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}$ 单位

$d=39$ 单位

该粒子从 2 秒到 5 秒移动了 39 个单位。

旋转体

正弦曲线绕 y 轴旋转

想象一个函数，$f(x)$。现在将其绕一个轴旋转形成一个实体。可以使用积分来求解该实体的体积。

所用公式为

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)dx$，其中 a 是左极限，b 是右极限。

例子

设 $f(x)={\frac {1}{x}}$。求其从 x = 2 到 x = 4 的旋转体的体积。

解

$f(x)={\frac {1}{x}}$

$a=2$

$b=4$

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)dx$ 立方单位

$V=\pi \int _{2}^{4}{\frac {1}{x}}dx$ 立方单位

$V=\pi \left(\left[\ln 4\right]-\left[\ln 2\right]\right)$ 立方单位

$V=\pi \left(\ln 4-\ln 2\right)$ 立方单位

$V=\pi \left(0.69314718056\right)$ 立方单位

$V=2.1775860903$ 立方单位

$V=2.178$ 立方单位（IB 指导考生将计算结果四舍五入到小数点后三位）