主题 2 - 函数与方程

简介

本节的总体目标是探索函数的概念作为统一主题。此外，考生应该能够将函数方法应用到各种情况下。预计使用 GDC（图形显示计算器）。

函数的概念

复合函数

复合函数是由多个部分或步骤组成的函数。在遇到复合函数之前，您会看到形式为 f(x)、g(x) 等的函数。复合函数中包含另一个函数，例如可以写成 f(g(x)) 或 g(f(x))。这些分别称为“f of g of x”和“g of f of x”。f(g(x)) 表示将函数 'g' 应用于 'x'，然后，将函数 'f' 应用于函数 'g' 的输出。例如，如果 g(x)=2x+3，f(x)=x^2，复合函数为 f(g(x))，'x' 会应用 'g'，变成 '2x+3'。'2x+3' 随后应用 'f'，变成 (2x+3)^2。

f(g(x)) 不等于 g(f(x))。

反函数

反函数，顾名思义，是函数的反函数，表示为 $f$ ^$-1$ $(x)$ (f(x)^-1)。这是通过在方程中将 $x$ 和 $y$ 互相替换，然后评估函数以使您能够单独获得 $y$ 变量，然后再进行一次。

示例

Ex.1

$f(x)=x^{2}\,\!$

$y=x^{2}\,\!$

$(x)=(y)^{2}\,\!$

${\sqrt {x}}=y\,\!$

$f\,\!$ ^$-1$ $(x)={\sqrt {x}}\,\!$

例 2

$f(x)=3x-2\,\!$

$y=3x-2\,\!$

$(x)=3(y)-2\,\!$

$x+2=3y\,\!$

${\frac {x+2}{3}}=y\,\!$

$f\,\!$ ^$-1$ $(x)={\frac {x+2}{3}}\,\!$

函数图像

水平和垂直渐近线

渐近线可以被描述为一条代表函数最终行为的直线。虽然它可能被函数图像穿过，但不能被穿过无限多个点。渐近线可以是水平的、垂直的或斜的（对角线）。

例如，如果你观察 $y=1/x$ 的图像，你会发现函数图像虽然接近 x 轴，但永远不会接触这条直线。换句话说， $y=0$ 是该函数图像的水平渐近线。

变量的指数

处理函数时，了解变量的最高次幂总是好的，这只是众多事项之一。例如，对于方程 $y=x$ 和 $y=x^{2}$ ，这些函数的行为差异很大。对于 $y=x$ ，函数从第三象限的负无穷大延伸到第一象限的正无穷大。而对于 $y=x^{2}$ ，函数从第二象限延伸到第一象限。

图表的变换

倒数函数

X ----> 1/x, i.e. f(x) = 1/x is defined as the reciprocal function.

注意

- f(x) = 1/x 在 x = 0 时没有意义 - f(x) = 1/x 的图形只存在于第一和第三象限 - f(x) = 1/x 关于 y = x 和 y = -x 对称 - f(x) = 1/x 是渐近的（接近）x 轴和 y 轴

(来源：国际学生数学，数学 SL，国际文凭课程，作者：约翰·欧文、罗伯特·哈斯、桑德拉·哈斯、马克·布鲁斯)

二次函数

标准形式

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

顶点或转向点形式

$y=a(x-h)^{2}+k\,\!$ ，其中 (h,k) 是顶点

$(h,k)=({\frac {-b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})$

对称轴

-b/(2a)

方程的根

${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

其中 b²-4ac 是判别式。它也可以写成 Δ。

当 Δ>0 时，方程有两个不同的实根。

当 Δ=0 时，方程有两个重复的实根。

当 Δ<0 时，方程没有实根（只有虚根）。

指数函数

在数学中，指数函数是函数 e^x，其中 e 是一个数字（约为 2.718281828），使得函数 e^x 等于其导数。指数函数用于模拟当自变量的恒定变化导致因变量的相同比例变化（增加或减少）时的现象。指数函数也经常写成 exp(x)，尤其是在 x 是一个表达式，使其作为指数排版起来很麻烦时。

y = e^x 的图形是向上倾斜的，并且随着 x 的增加而更快地增加。图形始终位于 x 轴上方，但对于负的 x 可以任意接近 x 轴；因此，x 轴是水平渐近线。图形在每个点的斜率等于该点处的 y 坐标。逆函数是自然对数 ln(x)；因此，一些较旧的资料将指数函数称为反对数。

有时，术语指数函数更广泛地用于形式为 cb^x 的函数，其中基数 b 是任何正实数，不一定是 e。

对数函数