IB 数学 SL/矩阵

主题 4：矩阵

简介

矩阵的组织

矩阵中的数字称为条目或元素

矩阵的阶定义了它的形状。例如，2×1 矩阵。第一个数字定义行数，第二个数字定义列数。

只有一列的 n×1 阶矩阵称为列矩阵

例如： ${\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}}$

只有一行的 1×n 阶矩阵称为行矩阵

例如： ${\begin{bmatrix}1&5&6\\\end{bmatrix}}$

零矩阵是指所有条目都为零的矩阵。

例如： ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

单位矩阵是一个方阵，其主对角线（从左上角到右下角）上的条目为 1，其他位置的条目为零。

例如： ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

矩阵的加减法

两个或多个相同维度的矩阵 $m$ 和 $n$ 可以相加。给定两个 m×n 矩阵 A 和 B，它们的和 A + B 是一个 m×n 矩阵，通过将对应元素相加得到。例如

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

矩阵乘以一个数字

要将矩阵乘以一个数字，将矩阵中的每个元素都乘以这个数字。例如

$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

矩阵乘法

为了进行矩阵乘法，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。考虑下面的矩阵 A 和 B

${\begin{bmatrix}1&3&1\\2&-1&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\\3&1\end{bmatrix}}$

因此，在这个例子中，2x3 矩阵和 3x2 矩阵可以以任何顺序相乘。对于这个例子，将得到一个 2x2 矩阵。注意，如果 3x2 矩阵乘以 2x3 矩阵，将得到一个 3x3 矩阵。通过将矩阵 A 的第一行与矩阵 B 的第一列相乘并对结果求和来进行操作。这将是 2x2 矩阵的第一个元素。将矩阵 A 的第一行与矩阵 B 的第二列相乘。这将是结果 2x2 矩阵的第一行第二列的元素。这个过程如下所示。

继续使用上面的矩阵 A 和 B

${\begin{bmatrix}1&3&1\\2&-1&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+6+3&1+-3+1\\2+-2+3&2+1+1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10&-1\\3&4\\\end{bmatrix}}$

注意矩阵乘法不满足交换律。因此 MxN 不等于 NxM

2x3 矩阵是 IBO 在任何考试中要求的手动计算中最复杂的一种，后续矩阵（3x3、3x4、4x4）将通过使用 GDC（图形显示计算器）来完成。

2×2 矩阵

与上面显示的过程类似，只是更简单。2x2 矩阵乘以 2x2 矩阵总是会产生一个 2x2 矩阵。考虑下面的矩阵 A 和 B

${\begin{bmatrix}4&2\\-1&8\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3\\2&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-4+4&12+0\\1+16&-3+0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&12\\17&-3\\\end{bmatrix}}$

3×3 矩阵

IBO 不建议 SL 学生手工计算 3x3 矩阵，因为它只是 2x2 矩阵乘法的复杂扩展。相反，IBO 建议使用 GDC（图形显示计算器）及其上的矩阵函数。