IB 数学 SL/统计与概率

概率

组合事件

当 $(A\land B)$ 和 $(A\lor B)$ 同时发生时，即为组合事件。请注意，当 A 或 B 发生时，A 和 B 也同时发生。这意味着

P(A\lor B)=P(A)+P(B)-P(A\land B)

它还意味着 A 发生，**或** B 发生，**或** A 和 B 都发生。

互斥事件

文件：Venn diagram2.gif

维恩图中的互斥事件

当两个事件被称为互斥事件时，这两个事件不能同时发生。例如，一次抛硬币的结果不可能是正面和反面。在维恩图中，互斥事件不相互交叉，没有重叠区域。换句话说： $P(A\land B)=0$ 。因此

P(A\lor B)=P(A)+P(B)-0

.

因为这两个事件的交集等于 0。

穷举事件

当集合 A 和集合 B 包含**所有可能的事件**时，称为穷举事件，无论在集合 A 或集合 B 中。这意味着 $P(A\lor B)=U$ ，其中 *U* 是所有事件的集合，或者换句话说

P(A\lor B)=1

.

对于穷举事件，A 的补集和 A 加起来等于 1

P(A\lor B)=P(A)+P(A')=1

.

条件概率

条件概率是指在第二个事件一定会发生的情况下，第一个事件发生的概率。请注意，对于互斥事件，条件概率总是等于零。

条件概率可以通过首先找到两个事件都发生的概率来计算。（对于独立事件，这只是指 P(A)*P(B)。）然后将结果除以给定事件的概率。

P(A|B)={\frac {P(A\land B)}{P(B)}}

独立性

如果两个事件满足以下条件，则称这两个事件相互独立。

P(A|B)={\frac {P(A\land B)}{P(B)}}=P(A)

也就是说

P(A\land B)=P(A)\times P(B)

统计学

数据的图表表示

众数、中位数和平均数

众数 - 数据集中出现频率最高的数值。

例如：给定数字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13

数字 13 出现频率最高，因此众数为 13

中位数 - 数据集中间位置的数值。要找到中位数，请按顺序排列数字，并确定中间位置的数字。

例如：给定数字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13

数字 7 位于数据集中间位置，因此中位数为 7

要了解中位数位于哪个位置

1/2(n+1)=

n 表示数据点的数量；结果是中位数的索引。然后查看该位置的数字，即中位数。如果数据点的数量为偶数，则中位数位于两个最“中心”数字之间。例如，在一个包含八个数字的集合中，如果第四个和第五个数字为 6、7，则中位数位于 6 和 7 之间。

平均数 - 数据集的平均值。要找到平均数，将数据集中所有数字加在一起，然后将此总和除以集合中的数字数量。

例如：给定数字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13 <-- 数据集中有 11 个数字将所有数字加在一起：1+3+4+4+5+7+8+10+13+13+13= 79 将总和 (79) 除以数据集中数字的数量 (11) = 79/11 = 7.18

因此，数据集的平均数，即平均数，为 7.18

离散度量

离散度量，也称为离散度量，衡量数据的分散程度。它们分为两种类型：不受异常值影响的参数和受异常值影响的参数。

不受异常值影响：标准差，标准差将衡量统计数据中落入某个范围或标准差内的百分比。据说 68% 的所有数据都落在平均数的一个标准差范围内。

                      interquartile range,

受异常值影响：范围，例如，在公司薪资中，最高管理人员的年薪可能高达 400,000 美元，而工厂工人的年薪仅为 10,000 美元，因此，薪资范围为 390,000 美元。

短语“不受异常值影响”表示该参数忽略了数据集的极端值和异常值。

累积频率

直方图

在统计学中，直方图是以条形图形式显示的表格频率的图形显示。它显示了有多少案例落入多个类别中的每一个：它是一种数据分箱形式。类别通常指定为某个变量的非重叠区间。类别（条形）必须相邻。区间（或带、或箱）通常大小相同。

直方图用于绘制数据密度，通常用于密度估计：估计基础变量的概率密度函数。用于概率密度的直方图的总面积始终归一化为 1。如果 x 轴上的区间长度都为 1，则直方图与相对频率图相同。

直方图的替代方法是核密度估计，它使用核来平滑样本。这将构造一个平滑的概率密度函数，它通常能更准确地反映基础变量。

直方图是七个基本质量控制工具之一，其他工具包括帕累托图、检验单、控制图、因果图、流程图和散点图。

随机变量

期望值

随机变量 x 发生的期望值由以下公式给出

E(X)=\sum xP(X=x)

其中 $X$ 是事件 $x$ 发生的概率。例如，抛硬币两次时出现正面次数的期望值为

E(X)=(0\times {\frac {1}{4}})+(1\times {\frac {1}{2}})+(2\times {\frac {1}{4}})=1

出现一次正面的概率为 1/2，因为有两个结果包含一个正面（HT 和 TH）。当一个游戏被称为公平时，这意味着期望值为 0。E(X)= 0

二项分布

一个分布是二项分布当且仅当它符合以下四个参数：1）结果是独立的 2）只有两种结果，成功或失败 3）成功的概率是恒定的 4）试验次数是固定的。例如，有一个装有 10 个弹珠的袋子，其中 5 个是红色的，3 个是蓝色的，2 个是绿色的。如果从袋中抽取 5 个弹珠（有放回），那么抽到正好 2 个红色弹珠的概率是多少？这是二项分布，因为结果是独立的，要么是红色要么不是红色，成功的概率是 0.5，试验次数是 5。为了解决二项分布问题，可以使用以下公式：_nC_k(p)^k(1-p)^n-k，其中 n 是试验次数，k 是成功的次数，p 是成功的概率。对于之前的问题，公式为：₅C₂(.5)²(1-.5)^5-2，结果为 10*.25*.125 = .3125，这意味着抽到正好 2 个红色的概率是 31.25%。

正态分布

正态分布是一个连续分布，由两个参数定义：均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 。由于正态曲线的对称性，均值等于众数和中位数。

标准正态分布

标准正态分布的均值为 0，标准差为 1。曲线下的面积（概率）为 1。

为了找到正态曲线下的面积，学生可以使用 TI 计算器中的 normalcdf() 函数。语法为

normalcdf (下限，上限，均值，标准差)

其他正态分布的概率

概率质量函数

一般来说，如果随机变量 K 遵循参数为 n 和 p 的二项分布，我们写成 K ~ B(n, p)。在 n 次试验中获得正好 k 次成功的概率由概率质量函数给出

\Pr(K=k)=f(k;n,p)

\Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}

对于 k = 0, 1, 2, ..., n 以及

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

是二项式系数（因此得名）"n 选择 k"，也记作 C(n, k), _nC_k 或 ⁿC_k。公式可以理解如下：我们想要 k 次成功（p^k）和 n − k 次失败 (1 − p)^n − k。但是，k 次成功可以在 n 次试验中的任何位置发生，并且在 n 次试验中分配 k 次成功的不同方式有 C(n, k) 种。

在创建二项分布概率的参考表时，通常将表填充到 n/2 的值。这是因为对于 k > n/2，概率可以通过其补集计算，如下所示

f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!

因此，必须查看不同的 k 和不同的 p（二项分布一般来说是不对称的）。但是，它的行为不是任意的。总是存在一个整数 m 满足

(n+1)p-1<m\leq (n+1)p.\,

作为 k 的函数，表达式 ƒ(k; n, p) 在 k < m 时单调递增，在 k > m 时单调递减，只有一个例外，即 (n + 1)p 是整数。在这种情况下，对于 m = (n + 1)p 和 m − 1 有两个最大值。m 被称为伯努利试验中最可能的（最有可能的）结果。请注意，它发生的概率可能很小。