主题 4：向量

引言

向量可以用三角函数来数学描述。

我们可以将向量定义为由大小和方向组成的有序对。在此图中，r 是此向量的大小，θ 是方向。现在请注意，我们已水平移动了r cos(θ) 和垂直移动了r sin(θ)。这些分别称为x 分量和y 分量。

我们还可以用 x 和 y 分量来方便地写出向量。我们用 ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ 表示向量。在某些文本中，您可能会看到向量以横向书写，例如 (x, y)，但在书写时，将其向下书写为列将非常有帮助。在印刷品中，我们通常将向量加粗，但由于您可能没有能写出粗体字的笔，因此请在向量下方加下划线，即写为v，或在向量下方添加波浪线，或在向量上方放置一个指向右边的箭头。

向量的长度

可以使用距离公式根据向量的分量找到向量的幅值 r，公式如下：

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}

其中 a1、a2 和 a3 是向量的三个分量。

向量相等

如果两个向量具有相同的大小和方向，则称它们相等。但是，如果我们谈论的是有向线段，则两个有向线段相等，如果它们具有相同的起点和终点。

例如，基点为 (1,0,0) 的向量 i + 2j + 3k 和基点为 (0,1,0) 的向量 i+2j+3k 是不同的有向线段，但却是相同的（位移）向量。

标量乘法

对于标量乘法，我们只需将每个分量乘以标量即可。我们通常用希腊字母表示标量，用罗马字母表示向量。

因此，对于标量值为 λ 和由 r 和 θ 定义的向量 v，新向量现在为 λr 和 θ。请注意方向没有改变。

示例

假设我们有 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ，并且我们希望将其幅值加倍。因此， $2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$ 。

向量的加法

简单来说，要将两个向量相加，必须将各自的 x 分量加在一起以获得新的 x 分量，并且同样地将两个 y 分量加在一起以获得新的 y 分量。

示例

假设我们有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$ ，并且我们希望将它们相加。因此， $\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$ 。