IB 物理/测量与不确定度 (2016)/不确定度和误差 (2016)

误差

物理学是一门实验科学，并非所有测量都能无限精确地进行。因此，物理学家开发了数学方法来处理现实世界中进行实验时出现的误差，这门学科称为误差分析。在 IB 物理中，这部分内容会进行简单的测试，但对于你的 IA（独立研究）来说至关重要，因为你需要进行实验。从最正式的角度来看，误差可以看作是测量值与公认（或真实）值之间的偏差或差异。

随机误差

随机误差是指实验者发现的，但未知且不可预测的误差，影响了测量值。它通常是由以下原因造成的

1. 实验条件的变化，例如温度的随机波动。在这种情况下，最大随机误差（或不确定度）的大小是不可预测的，通常是未知的。
2. 从测量仪器上读取测量值时的估计，例如从数字秤上获取物体的质量。在这种情况下，你通常可以从测量仪器的精度了解最大随机误差（或不确定度）的大小。

在进行物理实验时，为了获得最准确的结果，减少测量中的随机误差非常重要。

减少实验中随机误差最简单的方法是使用更精确的设备。精度指的是测量值彼此之间的接近程度。测量值精确并不意味着它接近真实值，仅仅意味着它非常可靠地一致。例如，你可以使用精度为 0.01 克的电子秤，而不是精度为 1 克的厨房秤。

系统误差

系统误差是指导致某数量的测量值与真实值之间存在相当一致的偏差的误差。它们通常与特定的测量仪器或实验技术有关。

例如，如果你使用一根 30 厘米长的塑料尺，尺的 0 厘米和 30 厘米刻度线两侧都有 0.3 厘米的边缘，并在使用时错误地将尺的末端视为真正的 0 刻度线，然后将尺与，比如，一个块的高度对齐进行测量，就会产生系统误差。这种系统误差称为零点误差，之所以这样命名是因为测量实际值为 0 厘米时会产生 0.3 厘米的系统误差。

你可以通过识别设备和方法中的系统误差，然后在计算中进行修正（通常是通过减法），来减少实验中的系统误差。你还可以使用经过校准没有系统误差的设备，以及使用现有设备的方式来避免产生系统误差，例如从尺的真实 0 厘米刻度线处进行测量，来减少系统误差。

不确定度

不确定度是添加到某数量的公认值中的额外信息，表示我们对该数量的认识有多精确。

例如，你可能用一根精度为 $0.001\,\mathrm {m}$的卷尺测量了一根铜线的长度为 $0.600\,\mathrm {m}$。在模拟尺上测量长度是指找到两点在尺上的位置，然后求出两点之间的差值。尺上的每个点相隔一毫米，因此可以通过与尺上一个点相距最多半毫米的点来记录线的实际起点和终点。这两个点的差值产生的总不确定度为两个半毫米，即一毫米。

因此，我们将表示我们对铜线长度知识的量写成 $0.6\,\mathrm {m} \pm 0.001\,\mathrm {m}$。中心的符号读作“正负”，它表明该值可能高达 $0.6\,\mathrm {m} +0.01\,\mathrm {m} =0.601\,\mathrm {m}$，或低至 $0.6\,\mathrm {m} -0.001\,\mathrm {m} =0.599\,\mathrm {m}$。也就是说，从接受值减去不确定度到接受值加上不确定度。

注意：这种对正负号的使用意味着不确定度始终是正数，应按此对待。这就是为什么在所有关于不确定度的公式中都有 $|\mathrm {absolute\,value\,signs} |$。这些符号意味着您必须将它们内部的任何内容（正或负）更改为大小相等的正数。这些符号在数学中有其他含义，但这超出了本维基百科的范围。

绝对不确定度

绝对不确定度是附加到数量的不确定度，该数量具有某个已知值。它回答了这个问题 - 我们到底错了多少？它不是接受值的比例。给定量 $x$ 的绝对不确定度写成 $\Delta x$。例如，如果我们知道 $x=300\pm 6$，我们可以说 $\Delta x=6$。

您应该将它们写成最多 1 或 2 个（根据您的判断）有效数字。这样做的原因是，额外的有效数字不会为我们对主值的理解增加任何实际意义。

分数不确定度

分数不确定度是附加到数量的不确定度，它表示所涉及的绝对不确定度的量级，作为数量接受值的比例。简单地说，它回答了这个问题 - 我们的错误有多大？例如，在我们关于电线的示例中，我们可以像这样计算不确定度

${\frac {\Delta x}{x}}={\frac {0.001\,\mathrm {m} }{0.600\,\mathrm {m} }}=0.001666\ldots$

通常不需要四舍五入分数不确定度，因为很多时候它是计算更复杂事物时的中间步骤。符号 ${\frac {\Delta x}{x}}$ 表示分数不确定度。

百分比不确定度

量的百分比不确定度与分数不确定度非常相似，区别在于它们是用百分比表示而不是分数或小数。将分数或小数转换为百分比的数学技能超出了IB物理课程大纲的范围，因此这里将不作详细介绍。

对于我们用尺子的例子，百分比不确定度很容易通过将分数不确定度转换为百分比来求得。表示百分比不确定度的符号，${\frac {\Delta x}{x}}$，是相同的。请看这里

${\frac {\Delta x}{x}}={\frac {0.001\,\mathrm {m} }{0.600\,\mathrm {m} }}=0.001666\ldots =0.17\ldots \%\approx 0.2\%$

百分比不确定度是通过值比例表示不确定度的常用方法。与绝对不确定度完全相同，您应该将其写成最多 1 或 2 位有效数字（根据您的判断）。

平均值的不确定度

当您进行了多次测量以求得平均值并提高准确性时，有两种方法可以确定最终平均值的不确定度。

1. 如果数据的范围超过在保持相同绝对不确定度的情况下平均值的可能值范围，那么您必须在表达最终值时考虑这一点。例如，如果您对某个值的实验数据为$5.5\pm 0.2,6.5\pm 0.2,7.5\pm 0.2$，那么您低估了随机误差，因为可能值的范围不会重叠在一个单一值上。您需要纠正这一点。这样做的经验法则，是平均值的绝对不确定度为数据范围的一半；这样做的原因是将所有数据点都包含为可能值。在我们的例子中，数据的范围是$2.0$，因此我们将平均值表示为$6.5\pm 1$.
2. 如果每个值的不确定度意味着每个读数的真实值的可能范围小于数据的范围，那么在表达数据的平均值时，您只需保留相同的绝对不确定度。例如，如果您的数据为$6.6\pm 0.2,6.5\pm 0.2,6.7\pm 0.2$，那么，因为每个值都在平均值的不确定度内（$6.6\pm 0.2$），因此不需要为了考虑数据的分布而增加不确定度。

关于在进行平均值计算来使测量更准确时，保持平均值相同的绝对不确定度的推理将在接下来的几节中进行解释。

图形分析

根据实验数据绘制两个量之间关系图的技能通常是IB物理课程的前提条件。但是，以下是对如何绘制图形的快速复习。

1. 如果需要进行分析，将轴线线性化以测试直线图：如果$A^{3}=kB^{2}$，那么在轴线上绘制$A^{3}$ 和 $B^{2}$，而不是保留这两个量本身。
2. 在图形上包含一个描述性标题，并打开所有主要和次要网格线。
3. 在格式为“描述符号 /单位”的格式中标记轴；例如，像“距离 $s\,/\mathrm {m}$”这样的标签是合适的。
4. 确保轴上的数字以逻辑方式标记和间隔 - 单位除外，因为您已经在您的标记方案中将数量除以单位。
5. 通常，物理学家会通过绘制他们正在改变的事物（自变量）在水平 x 轴上，以及绘制他们正在测量的事物（因变量）在垂直 y 轴上来分析实验。
6. 确保您使用“X”标记或“+”标记而不是圆形斑点来指示绘制的点，使其在视觉上更加精确。

这几乎是您在 IB 课程之前应该掌握的物理绘图技能的总和。对于本文的其余部分，假设我在谈论 Microsoft Excel（2020）（而不是 Google Sheets - Sheets 无法进行正确的误差条和不确定性分析）。

误差条

误差条是物理学家对不确定性的最有用直观解释。它们是绘制标记的扩展，显示了标记指示的真实值可能在图形上向上、向下、向左或向右绘制的距离；该知识是基于您正在绘制的值的不确定性。在 Google 图片上搜索：“误差条物理学”，以了解它们的直观想法。

实验的误差条可能大小都相同，或者不同的点可能具有不同的不确定性 - 在这种情况下，您应该记录或生成一列不确定性值（例如，一列用于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 以及 $x$ 和 $y$ 的典型列），供电子表格软件用作误差条的值。

一般来说，y 轴上下和 x 轴左右的误差条大小相同，除非您确切地知道一个方向的不确定性远小于或远大于另一个方向的不确定性。

有时，误差条不适合图形，仅仅是因为它们太小。例如，如果您使用的是几米长的长度，但您对长度的不确定性只是毫米 - 这是尺子的精度 - 那么您在长度方面绘制的误差条可能在绘制的图形上太小而可以忽略不计。

在这一节之后，一个有用的练习是看看您是否可以利用基于误差条的绘图和直觉来证明将不确定量加在一起的规则，将不确定量乘以常数，以及作为挑战，将两个不确定量相乘或相除。

梯度和截距的不确定性

在物理学中找到梯度或截距的不确定性非常有用，因为它允许对我们无法直接测量的量进行“计算”不确定性值。

例如，大多数涉及自由落体加速度的实验， $g$，并没有直接测量它 - 而是从另一个因变量和自变量中推导出它，也许作为将这两个变量联系在一起的图形的梯度。另一个例子是实验如何确定绝对零值的。19 世纪的物理学家绝对无法使用任何设备将物体的温度降至绝对零度附近，他们使用连接两个关于气体行为的量的图形的 x 截距来确定它。

这里要使用的技术称为“最大-最小线”的使用。本质上，您尝试绘制一条“最大线”，这条线尽可能陡峭，但仍穿过所有误差条，然后绘制一条“最小线”，这条线尽可能平缓，但同样穿过所有误差条。这样做的逻辑是您正在将误差条推到它们的极限，利用您对真实点可能位于误差条创建的矩形内部的任何位置的了解。

创建这些最大-最小线后，您可以将更陡峭的梯度视为最大可能的梯度，然后您可以将更平缓的梯度视为最小可能的梯度。根据经验，您通常可以取两个梯度的算术平均值（相加后除以 2）来获得梯度的“测量值”。自然地，随之而来的是，您的测量梯度与最大和最小可能梯度之间的差距是不确定性在梯度中。

您可以使用类似的技术分析图形的截距（与另一条线的截距、与轴的截距等）。注意截距的极端可能值，将它们视为最大值和最小值，然后，再次取值的算术平均值作为您的“测量值”。截距的不确定性是从测量值与极端值之间的差值计算出来的。

用范围表达不确定性

当然，也有一些例外。例如，您可能会意识到，在接近垂直的某种模式中，最大线和最小线之间的差异最终可能会变得很大 - 想象最小值为 10，最大值为 5,000。在这里，取算术平均值是不合适的，因此，*出于必要*，您必须将梯度表示为一个范围（即 $10\leq m\leq 5,000$）。

用范围表示任何形式的不确定性是一个简单的技能。虽然不总是必要，但它可能会有所帮助。一般来说，给定一个不确定的量 $x\pm \Delta x$，知道极值是 $m-\Delta m\leq m_{real}\leq m+\Delta m$，例如 $300\pm 6$，我们将用范围语句“$x$ 在 294 和 306 之间”；或者简单地用区间/不等式 $294\leq x\leq 306$ 表示我们对该量的认识。

计算：不确定度的传播

当确定一个本身由其他不确定的值计算得到的值的不确定度时，以下规则适用。

加减值

当将值彼此相加或相减时，需要将绝对不确定度加在一起。

例如，$6.0\pm 0.2+4.2\pm 0.1=10.2\pm 0.3$。

这样做的理由是，当添加两个不确定的值时，$a\pm \Delta a$ 和 $b\pm \Delta b$，可能的最低值是 $(a+b)-\Delta a-\Delta b$，而可能的最高值是 $(a+b)+\Delta a+\Delta b$。可能值的总范围等于您加在一起的两个量的可能值的范围之和。换句话说，

• 如果 $a+b=c$，
• 那么 $\Delta a+\Delta b=\Delta c$
• 因为 $a\pm \Delta a+b\pm \Delta b=(a+b)\pm (\Delta a+\Delta b)$。

将不确定的值乘以或除以精确值

关于将不确定度通过乘法和除法传播的规则可能是最重要的规则之一。

如果你有一些不确定的值 $a\pm \Delta a$，那么它可以取到一个最小值为 $a-\Delta a$ 和一个最大值为 $a+\Delta a$。如果你将最小值和最大值分别乘以某个精确因子 $k$，那么你将得到一个最小值为 $ka-k\Delta a$ 和一个最大值为 $ka+k\Delta a$。

主值被放大了一个因子 $k$，变成了 $ka$。同时，我们可以看到，最小值和最大值也放大了相同的因子——它们比 $ka$ 低或高的量，也就是 $ka$ 的不确定性，也相应地被放大了 $k$ 倍。

从数学的角度来说，我们可以用一个非常简单的形式来表达它——$\Delta ka=k\Delta a$。在 IB 公式手册中，这个实际上并没有包含进去——你可能已经注意到，这实际上只是关于将不确定的量加在一起的规则的应用。

将一个量除以一个常数，我们称之为 $j$，可以看作是乘以 ${\frac {1}{j}}$。因此，与上一段类似，$\Delta {\frac {a}{j}}={\frac {1}{j}}\Delta a$。

举个例子——假设你有一个不确定的量 $100\pm 4$。如果你将这个量除以 4，你将得到 $25\pm 1$；绝对不确定度被除以 4，而 *百分比不确定度保持不变*——这是一个非常重要的需要牢记的事实。如果你将这个不确定度乘以 4，你将得到 $400\pm 16$。请注意，我已经保留了第二位有效数字；这是因为将其四舍五入到绝对不确定度为 20 会使其比实际上的不确定度更大（不确定度增加了 25%！这 *确实是* 一个有意义的差异，因此我根据自己的判断得出结论，这里保留两位有效数字是合适的）。

将两个不确定的值相乘或相除

当我们将不确定的值彼此相乘或相除时，规则会变得更加复杂。让我们尝试在将两个不确定的量相乘时找到最小值和最大值。

假设你有两个量，$a$ 和 $b$，相乘得到量 $c$。假设每个数据的不确定度分别为 $\Delta a$ 和 $\Delta b$。换句话说，$ab=c$。

最小情况下，$c=(a-\Delta a)(b-\Delta b)=ab-a\Delta b-b\Delta a+\Delta a\Delta b$，取初始数据的最小值。最大情况下，$c=(a+\Delta a)(b+\Delta b)=ab+a\Delta b+b\Delta a+\Delta a\Delta b$。

试着在你的纸上用铅笔计算一下 - 如果你从最大值中减去最小值，你会发现一个范围值为 $2(a\Delta b+b\Delta a)$；不确定度为 $a\Delta b+b\Delta a$。你还会发现，量 $c$ 的测量值为 $ab+\Delta a\Delta b$，因为这是最小值和最大值之间的中心点。考虑到，通常，$\Delta a\Delta b$ 会太小，不会影响测量值。你可以基本将其忽略为 0。因此，我们对 $c$ 的最终值为 $ab\pm (a\Delta b+b\Delta a)$。

一般来说，两个不确定值的乘法规则是，结果的百分比不确定度等于你相乘在一起的百分比不确定度的总和。这是在上面的计算中可以观察到的一个特性。如果我们尝试计算 $ab$ 中的总体百分比不确定度，我们会得到以下结果。

${\frac {a\Delta b+b\Delta a}{ab}}=|{\frac {\Delta a}{a}}|+|{\frac {\Delta b}{b}}|$

这解释了将两个不确定的量相乘的规则。现在我们应该考虑如果我们将一个不确定的量除以另一个量会发生什么。假设我们有一个量${\frac {a}{b}}=c$. $a$ 和 $b$ 都是不确定的，其量为 $\Delta a$ 和 $\Delta b$，如前所述。

最大值，$c={\frac {a+\Delta a}{b-\Delta b}}$. 最小值，$c={\frac {a-\Delta a}{b+\Delta b}}$. 这两个量之间的差值是 ${\frac {a+\Delta a}{b-\Delta b}}-{\frac {a-\Delta a}{b+\Delta b}}={\frac {ab+\Delta a\Delta b+a\Delta b+b\Delta a-(ab-a\Delta b-b\Delta a+\Delta a\Delta b)}{b^{2}-(\Delta b)^{2}}}=2{\frac {a\Delta b+b\Delta a}{b^{2}-(\Delta b)^{2}}}$. 如前所述，$(\Delta b)^{2}$ 通常是一个对最终结果无关紧要的量，因此我们将其抵消为 0。请记住，这里的代数非常困难，我不期望本教科书的每位读者都能够理解它。除法的通用规则将在后面给出。

我们发现，除以二后，绝对不确定度为 ${\frac {a\Delta b+b\Delta a}{b^{2}}}={\frac {a}{b}}({\frac {\Delta b}{b}}+{\frac {\Delta a}{a}})$. 你可能会意识到，这种绝对不确定度是新值乘以百分比不确定度之和——新值的百分比不确定度是初始百分比不确定度之和。你可能想稍后返回本节，尝试自己完成代数。在此之前，需要记住的规则非常简单，如下所示。

总结一下——当将两个不确定的量相乘或相除时，答案的百分比不确定度可以通过将两个输入的百分比不确定度加起来得到。当$a=bc={\frac {d}{f}}$

$|{\frac {\Delta a}{a}}|=|{\frac {\Delta b}{b}}|+|{\frac {\Delta c}{c}}|=|{\frac {\Delta d}{d}}|+|{\frac {\Delta f}{f}}|$

将不确定值进行乘方运算

当将不确定值，我们将其称为$x$，进行乘方运算，我们将其称为$n$时，规则实际上很简单。你需要将$x$的原始百分比不确定度乘以该幂的绝对值。这基本上是我们从不确定量相乘和相除规则中得到的直接逻辑结论。

例如，如果我们想要计算 $x^{4}$ 的百分比不确定度，我们只需要注意到 $x^{4}=x\times x\times x\times x$。如果我们想要计算 ${\frac {1}{x^{3}}}$ 的百分比不确定度，我们只需要注意到 $x^{-3}=1/x/x/x$。在第一种情况下，我们将四个 $x$ 乘在一起，因此百分比不确定度必须是 ${\frac {\Delta x^{4}}{x^{4}}}=|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|=4|{\frac {\Delta x}{x}}|$。在第二种情况下，我们将一个精确的量除以 $x$ 3 次，因此百分比不确定度必须是 ${\frac {\Delta x^{-3}}{x^{-3}}}=|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|=3|{\frac {\Delta x}{x}}|=|-3{\frac {\Delta x}{x}}|$.

如果我们要将这个不确定性原理应用于分数和十进制幂，则需要更多的数学证明。但是，我只是要省略它——数学超出了本课程的范围。为了总结在本节中所学到的知识

${\frac {\Delta x^{n}}{x^{n}}}=|n{\frac {\Delta x}{x}}|$

特殊函数

对于 IB SL 和 HL 物理，在将一个值经过特殊函数处理后（例如 $\mathrm {sin}$ 或 $\mathrm {ln}$）计算其不确定性是没有必要的。在进行需要此计算的分析工作时，函数输入的分数不确定性被视为其输出的分数不确定性。例如，如果我对数量 $A$ 的不确定度为 $1\%$，那么我对 $\sin A$ 或 $\ln A$ 的不确定度也为 $1\%$。

本段只与一些需要此计算的非常困难的 IA 主题相关。对于某些函数 $f(x)$，当 $x$ 发生 $\Delta x$ 的变化时，会导致 $f(x)$ 发生大小差异很大的变化，更合适的做法是手动计算数量从 $x+\Delta x$ 到 $x-\Delta x$ 的可能实数值范围内 $f(x)$ 的最高和最低可能值，它们通常（但并非总是）等于 $f(x+\Delta x)$ 和 $f(x-\Delta x)$。