IB 物理/力学

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主题 2：力学

运动学 (2.1)

运动学概念

2.1.1 定义位移、速度、速率和加速度。

运动学单位

	符号	定义	SI 单位	矢量还是标量？
位移	${\vec {s}}$	物体在特定方向上移动的距离。	${\text{m}}$	矢量
速度	${\vec {v}}$ 或 ${\vec {u}}$	位移变化率。 ${\vec {v}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {s}}={\dfrac {\text{change in displacement}}{\text{change in time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-1}$	矢量
速率	$v$ 或 $u$	距离变化率。 $v={\dfrac {d}{t}}={\dfrac {\text{distance}}{\text{time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-1}$	标量
加速度	${\vec {a}}$	速度变化率。 ${\vec {a}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {v}}={\dfrac {\text{change in velocity}}{\text{change in time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-2}$	矢量

• 矢量量总是有与之相关的方向。

2.1.2 定义并解释速率、速度和加速度的瞬时值和平均值之间的区别。

• 平均值 - 在一段时间内。

• 瞬时值 - 在某一特定时间。

2.1.3 概述可以应用匀加速运动方程的条件。
加速度必须恒定

运动的图形表示

2.1.4 绘制和分析距离-时间图、位移-时间图、速度-时间图和加速度-时间图。

2.1.5 分析和计算位移-时间图和速度-时间图的斜率，以及速度-时间图和加速度-时间图下的面积。将这些与相关的运动学量联系起来。

匀加速运动

Determine the velocity and acceleration from simple timing situations

${\begin{aligned}&\left[{\vec {a}}={\dfrac {{\vec {v}}-{\vec {u}}}{t}}\right]&&\left[{\vec {s}}={\dfrac {({\vec {u}}+{\vec {v}})t}{2}}\right]&&&\left[{\vec {s}}={\vec {u}}t+{\dfrac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}\right]&&&&\left[{\vec {v}}^{2}={\vec {u}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {s}}\right].\\\end{aligned}}$

Derive the equations for uniformly accelerated motion.

匀加速运动有三个公式。第一个公式是从加速度定义为速度变化率推导出来的，

即

${\text{acceleration}}={\vec {a}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {v}}={\dfrac {\text{change in velocity}}{\text{change in time}}}.$

设初速度和末速度分别用$u$ 和 $v$ 表示，加速度用 $a$ 表示，时间用 $t$ 表示，则

${\vec {a}}={\dfrac {{\vec {v}}-{\vec {u}}}{t}}.$

将 v 作为主语，我们得到，

${\vec {v}}={\vec {u}}+{\vec {a}}t,$

这是第一个运动方程。

Describe the vertical motion of an object in a uniform gravitational field.

Describe the effects of air resistance on falling objects.

Solve problems involving uniformly accelerated motion.

力和动力学 (2.2)

力和自由体图

识别作用于物体的力，并绘制自由体图来表示作用的力。每个力都应该用名称或公认的符号标记。矢量的长度应大致与其大小成比例。

牛顿第一定律

牛顿第一运动定律指出，除非受到非平衡力的作用，否则物体将保持静止或以恒定速度运动。

平衡

平衡是系统中竞争性影响（例如力）处于平衡状态的条件。

牛顿第二定律

$\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}.$

或者

$\sum {\vec {F}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {p}}={\dfrac {\text{change in momentum}}{\text{change in time}}}.$

换句话说，合力是牛顿第二定律中唯一重要的因素。运动的方向取决于合力的方向。

牛顿第三定律

如果物体 A 对物体 B 施加力，则物体 B 会在连接线方向上对物体 A 施加大小相等、方向相反的力。

每一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。这就是为什么你能把咖啡杯放在桌子上而不会掉下去。桌子提供一个向上的正向反作用力来抵消向下的重力，因此 F(净) = 0，你的咖啡杯就会留在桌子上。需要注意的是，相反的反作用力必须沿着连接线发生，即相反力的矢量箭头必须指向第一个力，同时保持相反方向。

惯性质量、引力质量和重量 (2.3)

物体的惯性质量定义为施加力 ${\vec {F}}$ 与其加速度 ${\vec {a}}$ 之比，其中 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {a}}$ 不高于一维矢量，因为矢量除法在超过一维后就没有定义了。

$m_{inertial}={\dfrac {\vec {F}}{\vec {a}}}$

说明牛顿第一运动定律 (2.2.4)

在古代，亚里士多德认为力是使物体保持运动所必需的。速度越高，所需的力就越大。亚里士多德对力的概念并不荒谬，实际上与我们日常生活中的经验相符：确实需要力才能将一件家具从房间的一个角落推到另一个角落。亚里士多德没有认识到的是，日常生活充满了摩擦力。运动的物体之所以会静止下来，是因为存在摩擦力，因此如果要使物体继续运动，就需要力。这个力是用来抵消阻碍运动的摩擦力的。在一个理想化的没有摩擦力的世界里，一个被设定为运动的物体并不需要力来使其保持运动。伽利略在亚里士多德之后 2000 年，第一个认识到静止状态和以恒定速度沿直线运动的状态是不可区分的。因为静止状态下没有力，所以以恒定速度沿直线运动的状态下也不需要力。力与速度的变化（即加速度）有关。

牛顿第一定律（概括了伽利略的论述）指出以下内容

当没有力作用在物体上时，该物体将保持静止状态或以恒定速度沿直线运动。

一个以加速度运动的物体（即速度或运动方向发生变化）一定受到力的作用。冰球在冰面上滑动，几乎没有摩擦力，因此会以恒定速度沿直线运动。离开太阳系的航天器关闭发动机后，没有力作用在其上，它将继续以恒定速度沿直线运动（直到遇到另一个会吸引或撞击它的物体）。利用第一定律，很容易判断是否有力作用在物体上。例如，地球绕太阳旋转，因此我们立刻就知道有一个力作用在地球上。

牛顿第一定律也被称为惯性定律

惯性是物体抵抗其运动状态改变的性质。当没有力作用在物体上时，惯性使物体保持其运动状态不变。当汽车向前加速时，乘客会被甩到座位上。如果汽车突然刹车，乘客会被甩到前面。这意味着质量倾向于保持它在力作用于它之前的运动状态。物体对运动状态改变的反应就是惯性。

一个著名的惯性例子是魔术师突然从桌子上拉开桌布，而所有的盘子、玻璃杯等都留在桌子上。这些物体的惯性使它们“想要”留在它们所在的位置上。类似地，如果你猛地拉一下一卷卫生纸，你会撕下一张纸。但是，如果你轻轻地拉，你只会使纸卷旋转。

功、能和功率 (2.5)

功

功指的是一个活动，它涉及一个力以及沿力方向的运动。它是一个标量，用焦耳（SI 单位为牛顿米）测量，可以定义为

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}\,{\text{cos}}(\theta )$

其中 ${\vec {F}}$ 是作用于物体的力，${\vec {s}}$ 是物体的位移，${\text{cos}}(\theta )$ 是力与位移之间的夹角的余弦，其中 $\cdot$ 是点积。

在一个线性示例中（力作用方向与位移方向相同），${\text{cos}}(\theta )$ 等于 $1$，并且公式简化为 $W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$.

示例计算

如果一个 20 牛顿的力推动一个物体在力作用方向上移动 5 米，那么做了多少功？

${\begin{aligned}&F=20\,{\text{N}}\\&s=5\,{\text{m}}\\&W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=20\times 5=100\,{\text{J}}\\\end{aligned}}$

答案:做了 100 焦耳的功。

示例（何时做功？)

Force making an object move faster (accelerating)
Lifting an object up (moving it to a higher position in the gravitational field)
Compressing a spring

何时不做功？

When there is no force
Object moving at a constant speed
Object not moving

一些有用的公式;

如果一个物体被垂直提起，则对其做的功可以使用以下公式计算

$W=m\,g\,h$

其中 $m$ 是以千克为单位的质量，$g$ 是地球的重力场强度 ($10\;N\,kg^{-1}$)，$h$ 是以米为单位的高度。

压缩或拉伸弹簧所做的功

$W={\dfrac {1}{2}}\,k\,{\vec {s}}^{2}$

其中 $k$ 是胡克常数，${\vec {s}}$ 是位移。

能量和功率

能量是做功的能力。你转移的能量等于所做的功。能量是做功量度的量度，这意味着能量和功的单位必须相同——焦耳。能量就像做功的“货币”。要做 $100$ 焦耳的功，你必须消耗 $100$ 焦耳的能量。

能量守恒

在任何情况下，能量的变化必须得到解释。如果它被一个物体“损失”，它就必须被另一个物体获得。这就是能量守恒原理，它可以用多种方式表述。

一个封闭系统的总能量必须保持不变

能量既不能被创造也不能被毁灭，它只是改变了形式。

宇宙的总能量没有变化

能量可以存在于许多不同的类型，包括

动能、重力势能、弹性势能、静电势能、热能、电能、化学能、核能、内能、辐射能、太阳能和光能。

你需要前三个的方程

${\text{Kinetic energy}}=E_{K}={\dfrac {1}{2}}\,m{\vec {v}}^{2}$ 其中 $m$ 是以 ${\text{kg}}$ 为单位的质量，$v$ 是速度 (以 $m\,s^{-1}$ 为单位)

${\text{Gravitational potential energy}}=E_{p}=mg\Delta h$ 其中 $m$ 是质量，单位为 ${\text{kg}}$，$g$ 是重力场强度，$\Delta h$ 是高度的变化。

${\text{Elastic potential energy}}=E_{p}={\dfrac {1}{2}}\,k\,\left(\Delta x\right)^{2}$ 其中 k 是弹簧常数，$\Delta x$ 是伸长量。

功率 - 用瓦特 (${\text{W}}$) 或焦耳每秒 (${\text{J}}\,{\text{s}}^{-1}$) 测量 - 是做功的速率或能量传递的速率。

${\text{Power}}=P={\dfrac {\text{energy transferred}}{\text{time taken}}}={\dfrac {E}{t}}.$

如果某物体以恒定速度 $v$ 抵抗恒定摩擦力 ${\vec {f}}$，则所需的功率 $P$ 为 $P={\vec {f}}\cdot {\vec {v}}$。

如果你在一秒内做 $100$ 焦耳的功（使用 $100$ 焦耳的能量），则功率为 $100$ 瓦特。

效率是有用能量与总能量传递量的比率。

功-能原理

物体的动能变化等于作用在物体上的净功。

$W_{net}={\dfrac {1}{2}}mv_{final}^{2}-{\dfrac {1}{2}}mv_{initial}^{2}$

这个事实被称为功-能原理，通常是解决力学问题的一个非常有用的工具。它可以从能量守恒和功能关系的应用推导出，所以它不独立于守恒定律。它实际上是能量守恒的具体应用。然而，有很多力学问题可以通过应用这个原理来有效地解决，因此它作为工作原理值得单独关注。

对于直线碰撞，净功等于平均冲击力乘以冲击过程中所走的距离。

$W_{net}={\vec {F}}_{avg}\cdot {\vec {s}}.$

${\text{Average impact force}}\cdot {\text{distance traveled}}={\vec {F}}_{avg}\,d={\dfrac {1}{2}}\,m{\vec {v}}^{2}={\text{change in kinetic energy}}$

如果一个运动的物体被碰撞停止，延长停止距离将减小平均冲击力。

匀速圆周运动 (2.6)

以恒定速度$v$运动的物体，距离中心$R$的向心力定义为

$F=m{\dfrac {v^{2}}{R}}$