中级代数/绝对值不等式

复合不等式

在上一节中，我们处理了只有一个特定约束的不等式——也就是说，只有一个解集。然而，实际情况很可能需要多个约束。例如，计算机制造商希望他们的产品在一定的范围内销售，这样客户才能继续购买他们的计算机。

这种情景也可能发生在代数中，可以用复合不等式来表示。一个复合不等式是一个对一个常数、变量或表达式的两个约束进行陈述的语句。例如，不等式 -4 < x < 3 表示 x 有两个约束：它必须 (a) 大于 -4 并且 (b) 小于 3。这些复合不等式通常被称为 "and" 不等式，因为它们要求中心表达式满足两个约束。

使用上一课中介绍的绘图方法，我们可以将 -4 < x < 3 的解集在数轴上表示出来

                                    O--------------------O
                              <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                                -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

请注意，该解集被这两个值包围。

另一方面，复合不等式可以有一个或两个约束。这些不等式被称为 "or" 不等式——表达式可以满足两个条件中的任何一个。例如，如果 x < 3 或 x $\geq$ 7，则 x 等于小于 3 或大于或等于 7 的任何数字。3 到 7 之间的任何数字都不满足任何一个条件。

在图形上表示，不等式 x < 3 或 x $\geq$ 7 看起来像这样

                     <--------------------------------O           *-->
                     <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                       -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7

请注意，与上一个例子中的不等式相反，这两个约束朝相反的方向移动。这是复合不等式的关键原则，在绘制解集时应该牢记这一点。

求解复合不等式

因为复合不等式是两个独立的约束组合成一个，所以所有操作都必须在不等式的两侧进行。

例 1：求解 x：-7 < 2x + 4 $\leq$ 12。

停一下，假装上面的语句是两个独立的不等式。合乎逻辑的第一步是从两边减去 4。然而，由于现在将它们组合成一个，因此我们必须从所有边减去 4。因此

-7 < 2x + 4 $\leq$ 12

-7 - 4 < 2x + 4 - 4 $\leq$ 12 - 4

-11 < 2x $\leq$ 8

现在将所有边除以 2。

-11 < 2x $\leq$ 8

${\frac {-11}{2}}<{\frac {2x}{2}}\leq {\frac {8}{2}}$

-5.5 < x $\leq$ 4

例 2：求解 x：-3 > -x + 7 或 2x - 6 $\leq$ -4。

因为两个不等式是独立的实体，所以分别求解它们。首先从第一个不等式的两边减去 7，从第二个不等式的两边加上 6。

               -3 > -x + 7                  or                    2x - 6 $\leq$ -4
    
              -10 > -x                                                2x $\leq$ 2

最后除以相应的系数（-1 和 2）。

              -10 > -x                                              2x $\leq$ 2

                x > 10                      or                       x $\leq$ 1