中级代数/代数公理

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在数学中，你建立了一系列规则和概念来求解方程。大多数情况下，它们是一系列方程，但无论如何，都是应用一些规则来得到结果。在高等数学中，你从解开这些建立起来的规则和概念开始——专注于用已知和可评估的内容重建它们。这就是旅程的开始。

建立公理

当你开始通过其他证明来证明所有东西的任务时，你会遇到一个问题——你不可能在不需要简单地结束某个地方的情况下证明所有东西。这个基本的起点被称为什么？公理。

公理可以被认为是不需要证明的规则。专注于代数，我们可以从这些初始公理开始。请注意，变量$a,b,c$仅仅被视为数字。

加法代数公理列表

结合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$
交换律	$a+b=b+a$
单位元律	$a+0=a$
逆元律	$a+(-a)=0$

这些公理假设一些符号代表特定的含义。$0$，虽然它在代数中一直被视为一个数字，但在这里被视为加法单位元。$-a$同样，虽然在代数中被视为一个数字的负数，但在这里被视为$a$的逆元。从某种意义上说，它们被剥夺了我们通常与之相关的含义。

这些公理的另一个方面是：它们彼此协同工作。这应该意味着每个定律彼此之间不矛盾。观察到，例如，你可以通过使用交换律和结合律来创建一个新的关联。

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\&=a+(c+b)\\&=(a+c)+b\end{aligned}}$

从这里，你可以开始构建一些可能被认为是基本的代数性质，例如$a+x=a\Rightarrow x=0$——或者说，将某个数字加到任何数字上都不会导致任何变化，这意味着你加的数字必须是0。

${\begin{aligned}a+x&=a\\a+(-a)+x&=a+(-a)\\0+x&=0\\x&=0\end{aligned}}$

这个证明需要所有四个公理。

然而，只有加法的代数会很简单，所以让我们为另一个代数运算符添加另一组公理。列表中下一个你可能认为是减法的运算符，因为它们毕竟在代数中是成对出现的。但是，我们可以通过使用没有新公理的运算来做得更好——毕竟，减法也服从加法的结合律、单位元律和逆元律。如何做到？尝试一些数字；这留作练习，供你实验。

关于交换律；好吧，它直观上是不允许的，对吧？试试一些数字。除非$a=b$，它不会起作用。好吧，这实际上是可以推断出来的，就像将某个数字加到任何数字上都不会导致任何变化，这意味着你加的数字是 0 一样。不过，它需要乘法，特别是重新定义乘法的加法法则。

乘法的代数公理列表

结合律	$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
交换律	$a\cdot b=b\cdot a$
单位元律	$a\cdot 1=a$
逆元律	$a\cdot a^{-1}=1$

我们还将添加一个将这两个公理联系在一起的公理。

加法和乘法相关的代数公理列表

分配律	$a\cdot (b+c)=ab+ac$
“等式律”	$0\neq 1$

现在，如何使用乘法和加法来证明减法公理？简单！在对其周围添加内容后，对其应用分配性质。

${\begin{aligned}a-b&=b-a\\a-b+a+b&=b-a+a+b\\a+a+b-b&=b+(-a+a)+b\\a+a&=b+b\\a\cdot (1+1)&=b\cdot (1+1)\\a&=b\end{aligned}}$

现在，这里有一个来自包含乘法的巧妙规则 - 你可以证明负数乘以负数等于正数的对应物。这需要进一步解释。

首先，我们将证明一个更容易的陈述，${\displaystyle }$

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\&=a+(c+b)\\&=(a+c)+b\end{aligned}}$