中级代数/线性方程

线性方程

线性方程是在图上形成一条直线的方程。

斜截式

斜截式的线性方程的形式为 $y=mx+b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是 y 轴截距。例如，以下方程
$y=3x-1$

已知斜率和一个点，求 y 轴截距

y 轴截距是直线与 y 轴相交的点，或者说 $x=0$ 的点。这非常有用。如果我们知道斜率和直线经过的一个点，就可以找到 y 轴截距。考虑

$y=3x+b$ 经过 $(1,2)$
$2=3(1)+b$ 将 $2$ 和 $1$ 分别代入 $x$ 和 $y$
$2=3+b$ 简化。
$-1=b$
$y=3x-1$ 代入斜截式。

已知 y 轴截距和一个点，求斜率

直线的斜率定义为直线上两点之间 x 和 y 的变化量。

如果我们知道直线的 y 轴截距和直线上的一点，我们可以很容易地求出斜率。考虑

$y=mx+4$ 它经过点 $(2,1)$
$y=mx+4$
$1=2m+4$ 用 $1$ 和 $2$ 分别替换 $x$ 和 $y$。 $-3=2m$ 简化。 $-3/2=m$ $y=-3/2x+4$ 写成斜截式。

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标准形式

直线的标准形式是线性方程的一种形式，其形式为 $Ax+By=C$，其中 $A$ 和 $B$ 是整数，并且 $A>0$。

从斜截式转换为标准形式

斜截式方程可以很容易地转换为标准形式。考虑方程
$y=3x-1$
$-3x+y=-1$ 从等式两边减去 -3x，满足 $Ax+By=C$
$3x-y=1$ 将整个方程乘以 $-1$，满足 $A>0$
$A$ 和 $B$ 已经是整数，所以我们不用担心更改它们。

求标准形式方程的斜率

在标准形式的方程中，斜率总是等于 ${\frac {-A}{B}}$