中级代数/求解绝对值方程

绝对值

绝对值 用两个垂直线 ($\vert$) 表示，在代数中很常见。它们表示数字在数轴上到 0 的距离。如果数字为负数，则它将变为正数。如果数字为正数，则它将保持正数。

$\left\vert 4\right\vert =4\,$
$\left\vert -4\right\vert =4\,$

对于正式定义

如果 $x\geq 0$，则 $\left\vert x\right\vert =x$
如果 $x<0$，则 $\left\vert x\right\vert =-x$

正式定义只是对函数在 $x$ 值的某些限制下所代表内容的声明。对于任何 $x<0$，函数在 $xy$ 平面上的图表的输出是 $y=-x$.

请注意，负数的相反数（负数，-）是正数。例如，$-1$ 的相反数是 $1$.

练习题

对于所有这些问题，a = -2 且 b = 3。计算以下表达式。

1

$|a|=$

2

$|b|=$

3

$|b+a|=$

绝对值方程

现在，假设我们给出了方程 $\left\vert k\right\vert =8$，我们需要求解 $k$。哪个数字能满足方程 $\left\vert k\right\vert =8$？8 可以，但 -8 也可以。这就是为什么一个方程可能有两个解（甚至更多解）。（回答这个问题：为什么？）

例 1： 解方程 $k$$|2k+6|=8$ 回想绝对值的含义：它表示该数字到起点（零）的距离，无论是左还是右。这意味着无论内部值表示什么，它必须是 $8$ 或 $-8$。因此， $2k+6=8\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-8$. 剩下的就是解两个关于 $k$ 的方程 $2k+6=8\qquad 2k+6=-8$ $\Leftrightarrow 2k=2\qquad 2k=-14$ $\Leftrightarrow k=1\qquad k=-7$

解绝对值方程的基本原则是需要将绝对值单独保留。这对大多数人来说足够理解，但这种说法对一些学生来说可能有点模糊。因此，这里可能需要大量的练习题。

例 2： 解方程 $k$$3|2k+6|=12$ 我们将向您展示两种解此方程的方法。第一种是标准方法，第二种将向您展示一些不可思议的东西。 标准方法：用其逆元乘以常数倍数。 我们需要将两边都除以 $3$，以使绝对值单独保留。我们将使用与第一个示例类似的推理设置两个不同的方程 $2k+6=4\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-4$. 然后，我们通过从两边减去 6 并将两边除以 2 来求解，得到$k$ 本身，结果为 $k=-5,-1$。我们将解题部分留给读者练习。 另一种方法："分配" 3 到绝对值。 请密切注意此处列出的步骤和推理，因为这种方法有效的原因与使用此技巧的人一样重要，甚至更为重要。首先，让我们将问题概括一下。假设存在一个正的非零常数倍数$c$ 乘以绝对值方程 $|2k+6|$ $c\cdot |2k+6|=|c|\cdot |2k+6|\quad {\text{OR}}\quad c\cdot |2k+6|=|-c|\cdot |2k+6|$. 假设两个陈述都为真。如果两个陈述都为真，那么您就可以将正常数$c$ 分配到绝对值中。否则，此方法无效！ ${\begin{aligned}|c|\cdot |2k+6|&=|c(2k+6)|&\qquad |-c|\cdot |2k+6|&=|-c(2k+6)|\\&=|2ck+6c|&\qquad &=|-2ck-6c|=|-(2ck+6c)|\\&=|1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}&\qquad &=|-1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}\end{aligned}}$ 注意这两个等式都用红色突出显示了相同的答案，这意味着只要常数倍数 $c$ 的值是正数，你就可以将 $c$ 分配到绝对值符号内。然而，这种“分配律”需要用到两个绝对值的乘积等于乘积的绝对值的性质。在人们可以在证明中使用这个性质之前，我们需要先证明它是正确的。对于发现这个错误的学生来说，你可能拥有一颗良好的逻辑思维，或者是对细节有很好的观察力。 证明$|b|\cdot |c|=|bc|$ 我们首先看最简单的情况：两个值 $b{\text{ and }}c$ 是常数。我们知道以下性质是正确的 $|-b|=|b|=b$ $|-c|=|c|=c$ 由此，我们可以得出结论，对于任何 $b,c\in \mathbb {R}$，$|b|\cdot |c|=bc$。我们也知道以下结论是正确的 $bc=d<0\Leftrightarrow |d|=-d>0$。这仅仅意味着对于某个乘积 $bc$ 等于一个负数 $d$，它的绝对值是 $-d$，或者说是到零的距离。因为 $d<0$，将两边乘以 $-1$ 会将小于号变为大于号，即 $d<0\Leftrightarrow -d>0$. $bc=d=0\Leftrightarrow |d|=d=0$. 如果某个乘积 $bc$ 等于一个数字 $d=0$，那么它的绝对值是 $0$. $bc=d>0\Leftrightarrow |d|=d>0$. 如果某个乘积 $bc$ 等于一个正数 $d$，那么该乘积的绝对值是 $d$. 因为我们相乘了两个绝对值，所以乘积要么是正数要么是零。因此，我们可以使用第二个和第三个要点得出结论 $|b|\cdot |c|=bc\geq 0\Leftrightarrow |d|=d=bc=|bc|\geq 0$. 我们可以使用所有五个要点来证明，对于任何常数 $b,c\in \mathbb {R}$， $|b|\cdot |c|=|bc|\blacksquare$。这是最简单的情况。但是，我们已经证明了最难的情况，其中 $b{\text{ and }}c$ 都是变量。我们拥有的五个要点足以证明这一事实。因此，这个证明将留给读者作为一项简单的练习。 通过确认一般情况，当我们再次看到这个技巧时，我们就可以使用它。让我们将此属性应用于原始问题（这将给我们下面的绿色结果） $3|2k+6|={\color {green}|6k+18|=12}$ 这都意味着 $6k+18=12\quad {\text{OR}}\quad 6k+18=-12$. 从那里，简单的代数运算将表明原始问题的答案再次是 $k=-5,-1$.

让我们稍微修改一下前面的问题，使常数倍数现在变为负数。在不改变其他内容的情况下，结果会是什么？让我们来发现一下。

示例 3： 求解 $k$$-4|2k+6|=8$ 我们将尝试用两种不同的方法解决这个问题：标准方法和其他方法，我们将在后面解释。 标准方法：用其逆元乘以常数倍数。 像上一个问题一样除以，所以方程看起来像这样：$|2k+6|=-2$。回想一下绝对值代表什么：它是该数字到起点（零）左侧或右侧的距离。有了这个，你注意到任何奇怪的事情吗？当你计算绝对值时，你总是会得到一个正数，因为距离必须始终是正数。因为这意味着逻辑上不可能的情况，所以没有实数解。请注意，我们特别提到了“实数”解。这是因为我们确定实数集，$\mathbb {R}$，中不存在解。但是，可能存在一些集合，其中这种类型的方程会有解。由于这种可能性，我们需要在数学上严格，并明确说明“没有实数解”。 其他方法：“分配”常数倍数到绝对值中。 这里，我们注意到常数倍数 $c<0$。问题是，没有 $g$ 使得 $|g|<0$。这只有在 $-|g|<0$ 时才成立，因为 $-|g|<0\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|g|>0$ 有了这个属性，因此我们只能将常数倍数作为 $|c|$，以及负数 $-1$ 作为绝对值外的因数进行分配。因此， $-4|2k+6|=-|8k+24|=8\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|8k+24|=-8$ 另一种方法似乎让我们将常数与其逆数相乘到两边。无论哪种方式，这种“其他方法”仍然给了我们相同的答案：没有实数解。

这次的问题会略有不同。请牢记我们迄今为止在所有示例中所秉持的原则，并注意问题中的陷阱。

示例 4： 求解 $x$$|3x-3|-3=2x-10$ 我们有许多方法可以尝试找到这个问题的解。我们将用标准方法来做，并允许任何学生用他们喜欢的方式来做。 $|3x-3|-3=2x-10\qquad {\text{Add the }}3{\text{ to both sides.}}$ $|3x-3|=2x-7$ 由于绝对值是孤立的，我们可以从广义步骤开始。假设$2x-7>0$，我们可以从表示这两个方程式开始 (1) $3x-3=2x-7$ (2) $3x-3=-(2x-7)$ 这些方程只有在$2x-7>0$ 时才是正确的。目前，假设该条件成立。让我们使用每个相应的方程式求解 $x$。 方程式 (1) $3x-3=2x-7\qquad {\text{Add }}3{\text{ and subtract }}2x{\text{ on both sides.}}$ $x=-4$ 方程式 (2) $3x-3=-(2x-7)\qquad {\text{Distribute }}-1{\text{.}}$ $3x-3=-2x+7\qquad \quad {\text{Add }}3{\text{ and add }}2x{\text{ on both sides.}}$ $5x=10\qquad \qquad \qquad \quad {\text{Divide }}5{\text{ on both sides.}}$ $x=2$ 我们有两个潜在的方程式解。试着根据你对这个问题的了解来解释为什么我们说“潜在”。 为什么我们说我们有两个潜在解？ 因为我们必须假设$2x-7>0$ 且 $|3x-3|=2x-7$ 对给定的 $x$ 成立。 因此，我们必须验证此方程解的存在。所以让我们将这些值代入方程式 $|3(-4)-3|=2(-4)-7$。注意，等式右边是负数。此外，等式左右两边并不等价。因此，这不是一个解。 $|3(2)-3|=2(2)-7$。再次注意到，等式右边是负数。此外，等式左右两边并不等价。因此，这不是一个解。 此方程没有**实数解**。更确切地说，它有两个**无关解**（即，当我们将它们代回方程时，它们不满足等式性质）。

尽管从第一个问题开始就遵循了概述的步骤，但你还是得到了两个无关解。这不是步骤本身的错误，而是方程本身的简单结果。由于等式左边必须始终为正，因此这意味着等式右边也必须为正。除这个限制之外，另一个事实是，对于仅给出正值的那些值，两边可能不会等于另一边。所有这些都是函数性质问题。

**示例 5：** 求解 $a$$6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|$ 这里需要用到所有学过的性质，所以希望你没有跳过任何内容。如果我们知道即将在这个问题中使用的性质，它一定会让我们的生活更容易。 $6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|\qquad {\text{Distribute, so to speak, the constant terms.}}$ $\left\vert 5a+{\frac {1}{2}}\right\vert =|9a+9|$ 看第二个等式可能是第一个荒谬的宣告。然而，应用绝对值的根本性质足以解决这个问题。 (3) $5a+{\frac {1}{2}}=|9a+9|$ (4) $5a+{\frac {1}{2}}=-|9a+9|$ 一次剥开一层问题。对于这个问题，我们将根据方程的来源对它们进行分类；这应该可以解释破折号：例如，3-1 是从 (3) 中得出的第一个公式化的等式。 (3-1) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (3-2) $9a+9=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ (4-1) $-(9a+9)=5a+{\frac {1}{2}}$ (4-2) $-(9a+9)=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ 我们可以证明一些方程是等价的。例如，(3-1) 和 (4-2) 是等价的，因为将 (4-2) 的两边除以 $-1$ 得到 (3-1)。在确定所有等价的方程后，将 $-1$ 分配到相应的括号中。 (5) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (6) $9a+9=-5a-{\frac {1}{2}}$ (7) $-9a-9=5a+{\frac {1}{2}}$ 现在剩下要做的就是解方程。我们将这一步留作读者的练习。您会发现三个可能的解中有两个是相同的，这意味着有两个可能的解：$a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}$。剩下要做的就是验证当查看这些特定的 $a$ 值时，问题中的方程是否成立。 $a=-{\frac {19}{28}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {19}{28}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {19}{28}}\right)+9\right\vert$ 成立。两边得到相同的值：${\frac {81}{8}}=10.125$。 $a=-{\frac {17}{8}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {17}{8}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {17}{8}}\right)+9\right\vert$ 成立。两边得到相同的值：${\frac {81}{28}}\approx 2.893$。 因为两个解都成立，所以这两个解是 $a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}\blacksquare$。

练习题

1 $|k+6|=2k$

$k=$

2 $|7+3a|=11-a$

$a\in \{$ , $\}$

3 $|2k+6|+6=0$

有多少解？

课程回顾

绝对值（用|'s 表示）代表数字在数轴上与 0 的距离。这实际上使负数变为正数，而正数保持不变。要解涉及绝对值的方程，必须将绝对值单独放在一边，并将其设置为另一边正负版本，因为这是绝对值可以输出的两种解。但是，要检查你最后得到的解；有些可能在右边产生负数，这是不可能的，因为绝对值符号的所有输出都是正数！

课程测验

计算每个表达式。

1

$|-4|=$

2

$|6-8|=$

求解 $a$。对于无解的方程，在两个字段或右字段中输入 NS（大写）。任何是无关的（代入方程后无效）的解，应该在右字段或两个字段中输入 XS。将解从最小到最大排序。

3 $|3a-4|=5$

$a\in \{$ $,$ $\}$

4 $5|2a+3|=15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

5 $3|4a-2|-12=-3$

$a\in \{$ $,$ $\}$

6 $|a+1|-18=a-15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

7 $2\left\vert {\frac {a}{2}}-1\right\vert -2a=-4a$

$a\in \{$ $,$ $\}$

阅读以下情况。然后，回答给出的提示或问题。对于没有解的方程，在两个字段或右侧字段中键入 NS（大写）。任何是多余的解都应在右侧字段或两个字段中键入 XS。按从小到大的顺序排列解。

8 附近河流的水流速度与平均速度$20{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$有$1.5{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$的偏差。用$s$表示河流的速度。选择所有可能描述这种情况的方程。

	$|s-1.5|=20$
	$|s+1.5|=20$
	$|20-s|=1.5$
	$|s-20|=1.5$
	$|s+20|=1.5$
	$|1.5-s|=20$

9 一条水平人工河的平均速度为$-4{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。速度与阻挡水流路径的岩石质量$r$（以千克为单位）成正比。假设当天河流的速度最大偏差为$6{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果比例常数为$k={\frac {2}{5}}$米每千克秒，当天河流中岩石的最大质量是多少？

	$5$ 千克。
	$15$ 千克。
	$25$ 千克。
	$35$ 公斤。