中级代数/不等式求解

不等式

与等式相反，不等式是一个表达式，表明两个量不相等或不彼此等价。在大多数情况下，我们在现实生活中使用不等式多于使用等式（例如，这件衬衫比那件衬衫贵 2 美元）。

假设 a 和 b 是实数，有四种基本不等式

a < b: a “小于” b; 示例：2 < 4 ; -3 < 0；等等。

a > b: a “大于” b; 示例：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等等。

$a\leq b$: a “小于或等于” b; 示例：如果我们知道 $x\leq 7$ ，那么我们可以得出结论，x 等于任何小于 7 的值，包括 7 本身。

$a\geq b$: a “大于或等于” b; 示例：相反，如果 $x\geq 7$ ，那么 x 等于任何大于 7 的值，包括 7 本身。

不等式的性质

正如等式有四种性质一样，不等式也有四种性质。

不等式的加法性质

如果 a、b 和 c 是实数，使得 a > b，那么 a + c > b + c。相反，如果 a < b，那么 a + c < b + c。

不等式的减法性质

如果 a、b 和 c 是实数，使得 a > b，那么 a - c > b - c。相反，如果 a < b，那么 a - c < b - c。

不等式的乘法性质

如果 a、b 和 c 是实数，使得 a > b 且 c > 0，那么 ac（或 a * c）> bc（或 b * c）。相反，如果 a < b 且 c > 0，那么 ac < bc。（注意，如果 c = 0，那么不等式的两边实际上相等）。我们将在本课后面回顾 c 小于零的情况。

不等式的除法性质

如果 a、b 和 c 是实数，使得 a > b，且 c > 0，那么 ${\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$ 。在相同条件下，相反，如果 a < b，那么 ${\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$ 。与乘法性质一样，c < 0 时会有一些特殊情况，我们将在后面讨论。

注意，所有四种性质也适用于 $a\leq b$ 或 $a\geq b$ 的不等式。

三歧性性质

以上陈述构成了三歧性性质的基础

  Given any two real numbers a and b, then only one of the following statements must hold true:

a < b
a = b
a > b

因此，如果我们给出任何两个未知实数值，那么三个陈述中的任何一个都会成立。

解不等式

解代数不等式与解代数方程几乎完全相同。考虑以下示例

                                 $2x+4\leq 3x-7$

虽然它可能是不等式，但我们可以使用上面列出的不等式性质来求解。首先从两边减去 2x 开始

                                 $2x-2x+4\leq 3x-2x-7$ 
                                 $4\leq x-7$

最后在两边加上 7。

                                 $4+7\leq x-7+7$  
                                 $11\leq x$

这可以改写为 $x\geq 11$ 。为了检查，请代入任何大于或等于 11 的值。但是，为了满足三歧性性质，我们将代入三个不同的值：10、11 和 12。

$2x+4\leq 3x-7$	$2x+4\leq 3x-7$	$2x+4\leq 3x-7$
$2(10)+4\leq 3(10)-7$	$2(11)+4\leq 3(11)-7$	$2(12)+4\leq 3(12)-7$
$24\leq 23$	$26\leq 26$	$28\leq 29$

十是错误的，而十一和十二满足解。因此，**解集** - 所有满足原始不等式的答案的集合 - 是 $x\geq 11$ . 用集合符号表示，答案是 { $x|x\geq 11$ }. 这读作“所有大于或等于 11 的 x 的集合”。

特殊情况 - 分母中的变量

例如，考虑不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在这种情况下，不能将等式右侧乘以 (x-1)，因为 x 的值未知。由于 x 可能为正或负，无法确定是否将不等号保持为 <，或者将其反转为 >。解决此类不等式的方法包括四个步骤

找出分母等于 0 的情况。在本例中，当 $x=1$ .
假装不等号是 = 号，并像这样求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，所以 $x=2$ .
在数轴上绘制点 $x=1$ 和 $x=2$ ，用空心圆圈，因为原始等式包含 <（如果原始等式包含 <= 或 >=，则将是实心圆圈）。现在你有三个区域： $x<1$ ， $1<x<2$ ，和 $x>2$ .
独立测试每个区域。在本例中，通过在该区域中选择一个点（例如，x=1.5）并将其代入原始不等式中，来测试不等式对于 1<x<2 是否成立。对于 x=1.5，原始不等式不成立。然后尝试 1>x>2（例如 x=3）。在这种情况下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 1>x>2。

练习题

特殊情况

假设我们要解决以下不等式

                                 $-3x+8\geq 26$

按照上面的步骤，先从两边减去8。

                                 $-3x+8-8\geq 26-8$ 
                                 $-3x\geq 18$

现在将两边除以-3。

                                 $-3x/-3\geq 18/-3$ 
                                 $x\geq -6$

通过代入三个数字来检查这个解。我们将使用-7，-6和-5。

$-3x+8\geq 26$	$-3x+8\geq 26$	$-3x+8\geq 26$
$-3(-7)+8\geq 26$	$-3(-6)+8\geq 26$	$-3(-5)+8\geq 26$
$29\geq 26$	$26\geq 26$	$23\geq 26$

等等，发生了什么？-7和-6满足不等式，但-7在解集中不包括！而大于-6的-5不满足不等式！

这是解不等式时的一个特殊情况。由于x项的系数为负数，因此另一边的常数（26，变为18，然后变为-6）符号改变了。**为了在除以负数时获得有效解，我们需要**改变符号**以确保解集正确。**因此，** $x\geq -6$ 变为 $x\leq -6$ ，更具体地说，是 { $x|x\leq -6$ }。

练习题

图形解

由于不等式有多个解，我们需要能够以图形方式表示它们。为此，我们使用下面的数轴

                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

有两种方法可以绘制解的图形；但是，每种方法根据不等式的性质而不同。例如，如果不等式包含<或>符号，我们使用空心圆圈（“O”）并将它放置在数轴上的相应位置（或上面），然后在解的左侧或右侧绘制另一条线（根据符号），以指示集合中无限多个解。例如，如果我们要绘制x < 4

                        <-----------------------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

空心圆圈表示4**不包含在解集中**；但是，所有小于4的值都满足解。

如果不等式包含 $\leq$ 或 $\geq$ ，则在数轴上对应的位置上放置一个实心圆（这里用 * 表示）。因此，解 $x\geq -2$ 的图形如下所示。

                                    *----------------------->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

星号 (*) 表示 -2 **包含在解集中**，大于 -2 的所有值也包含在内。

练习题

在数轴上绘制以下不等式的图形

1. x > 4

2. $x\leq 1$

3. -1 > x

解答

1.

                                                      O----->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

2.

                        <--------------------*
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

(注意：您的实际图形应该用实心圆代替点。如果有疑问，只需画一个圆并将其涂黑即可。)

3. 在这里要小心；您需要先重新排列不等式，然后才能绘制图形。改写后，不等式变为 x < -1

                        <--------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

课程回顾

不等式是证明两个量不相等的陈述。不等式有四种情况，其中两种允许等式 ( $a\leq b$ 和 $a\geq b$ )。不等式的四个性质，或多或少与等式的性质平行，可用于解决简单的不等式。唯一的例外是在乘法和除法中，如果两边都乘以或除以负数，则符号必须反转。最后，不等式的解集可以用空心圆 ("O") 或实心圆 ("*") 在数轴上绘制，具体取决于使用的原始符号。

课程测验

1. 什么是不等式？列出不等式的四种可能情况。

2. 用你自己的话说出三等分性质。

3. 求解下列不等式并绘制所有解的图形

  a. 4x + 3 > 7                                b.  $2x-4\leq -x+1$ 
  c.  ${\frac {-12c}{3}}\geq -24$       
  d. -x + 4 > 3x

测验答案

1. 不等式表明两个量不相等。不等式的四种情况：a < b，a > b， $a\leq b$ ， $a\geq b$ 。

2. 答案因人而异。只要确保您没有复制粘贴实际定义即可。

3a. x > 1

                                             O-------------->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

3b. $x\leq {\frac {5}{3}}$

                        <----------------------*
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

3c. $x\leq 6$

                     <--------------------------------------*
                     <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--> 
                       -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6

3d. x < 1

                        <--------------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

	yes
	no

	yes
	no

	yes
	no