化工过程导论/多组分多过程

多组分多过程问题求解导论

在绝大多数化工过程中，一些原材料经过加工得到所需终端产品或一组终端产品，系统中将会有不止一种原料进入，并且产品必须经过多个单元操作才能达到预期结果。可以预见，此类过程的计算比单组分或单操作过程的计算要复杂得多。因此，已经开发了几种技术来帮助工程师进行分析。本节将介绍这些技术以及如何将它们应用于示例问题。

自由度分析

对于比已经探讨过的单组分或单操作问题更复杂的问题，您必须有一种方法来确定在给定您所拥有的信息的情况下，问题是否可以解决。有三种方法可以根据其可解性来描述问题。

1. 如果问题有一组有限的（不一定唯一！）解，那么它被称为定义明确。
2. 问题可能是过度确定（也称为过度指定），这意味着您拥有过多的信息，这些信息要么是多余的，要么是不一致的。这可以通过将多个数据合并成单个函数或在极端情况下合并成单个值（例如线性相关性的斜率）来解决，或者可以通过删除人们对系统所做的假设来解决。
3. 问题可能是欠定（或欠指定），这意味着您没有足够的信息来求解所有未知数。有几种方法可以解决这个问题。最明显的方法是收集更多信息，例如测量更多温度、流速等，直到您得到一个定义明确的问题。另一种方法是使用关于我们想要从过程中得到什么的信息的额外方程或信息，例如我们在反应中获得了多少转化率，分离过程的效率如何等等。最后，我们可以做出假设来简化方程，也许它们会简化到足以使其变得可解。

分析系统以查看它们是过度指定、欠指定还是定义明确的方法称为自由度分析。它对单个过程的质量平衡有效。

1. 从流程图中确定过程中未知数的数量。什么构成未知数取决于您要找什么，但在物料平衡计算中，质量和浓度是最常见的。在平衡和能量平衡计算中，温度和压力也成为重要的未知数。在反应器中，您应该将转化率作为未知数，除非它已知，或者您正在进行原子平衡。
2. 减去您可以对过程编写的方程的数量。这可以包括质量平衡、能量平衡、平衡关系、浓度之间的关系以及从有关过程的额外信息中得出的任何方程。
3. 您剩下的数字是过程的自由度。

如果自由度为负，则意味着单元操作过度指定。如果它是正的，则操作欠指定。如果它是零，则单元操作是定义明确的，这意味着理论上可以用一组有限的解来求解未知数。

多过程系统中的自由度

多过程系统更难，但并非不可行。以下是如何分析它们以查看问题是否具有唯一解

1. 使用所有相关的未知数完整地标记流程图。
2. 如上所述，对每个单元操作执行自由度分析。
3. 将每个操作的自由度加起来。
4. 减去中间流中变量的数量，即两个单元操作之间的流。这是因为它们中的每一个都被计算了两次，一次是离开操作，一次是进入操作。

您剩下的数字是过程自由度，它将告诉您整个过程是过度指定、欠指定还是定义明确的。

使用自由度制定计划

一旦您确定问题是可解的，您仍然需要弄清楚如何求解变量。这是建议的方法。

1. 找到一个单元操作或单元操作组合，其自由度为零。
2. 计算该组合中涉及的所有未知数。
3. 重新计算每个过程的自由度，将计算出的值视为已知值，而不是变量。
4. 重复这些步骤，直到所有内容都计算出来（或至少计算出您要找的内容）。

多组分多过程：橙汁生产

示例:

考虑一个将生橙子加工成橙汁的过程。可能的工艺描述如下。

1. 橙子进入破碎机，在破碎机中，橙子中包含的所有水都会被释放出来。
2. 然后将破碎的橙子送入过滤器。过滤器能够捕获 90% 的固体，其余部分与橙汁一起作为果肉排出。

橙汁流的速度被测量为 $30{\frac {m}{s}}$，管道半径为 8 英寸。计算

a) 橙汁产品的质量流量。b) 如果该过程每天运行 8 小时，每年运行 360 天，每年可以加工多少个橙子。忽略启动时由于非稳态造成的变化。

使用以下数据：橙子的质量：0.4 千克 橙子的含水量：80% 固体的密度：由于它主要是糖，因此大约是葡萄糖的密度，即 $1.540{\frac {g}{cm^{3}}}$

步骤 1：绘制流程图

这次我们有多个过程，因此对每个过程进行标记尤为重要，就像在题目中给出的那样。

请注意，我将 90% 的固体捕获率转变为一个代数方程，该方程将固体废物中的固体质量与进料中的固体质量联系起来。这在后面会很重要，因为 _这是解决问题所需的额外信息_。

还要注意，从这里开始，"固体" 指代 S，"水" 指代 W。

步骤 2：自由度分析

回想一下，对于每个物流，有 C 个独立的未知数，其中 C 是单个物流中组分的数量。这些通常是 C-1 种物质的 _浓度_ 和 _总质量流率_，因为有了 C-1 种物质的浓度，我们可以找到最后一种物质的浓度，但我们无法仅通过浓度获得总质量流率。

让我们将之前描述的算法应用于确定问题是否定义良好。

在过滤器上:

• 有 _6_ 个未知数：m2、xS2、m3、xS3、m4 和 xS4
• 我们可以对整个系统写出 _2_ 个独立的物料衡算（每个组分一个）。
• 我们给出了一个转化率，以及足够的信息来根据单个组分的浓度来写出产品中的质量流率（从而消除了一个未知数）。因此，我们有 _2_ 个额外的信息。
• 因此，过滤器的自由度为 6-2-2 = _2 DOF_

在破碎机上:

• 有 _3_ 个未知数（m1、m2 和 xS2）。
• 我们可以写出 _2_ 个独立的物料衡算。
• 因此，破碎机有 3-2 = _1 DOF_

因此，对于 _整个系统_

• 单元操作的 DOF 之和 = 2 + 1 = 3 DOF
• 中间变量的数量 = 2（m2 和 xS2）
• 总 DOF = 3 - 2 = _1 DOF_。

因此，该问题 _欠指定_。

那么我们如何解决它呢？

为了解决欠指定的问题，我们可以获得额外规格的一种方法是 _做出假设_。我们能够做出哪些假设来减少未知数的数量（或者等效地，增加我们知道的变量的数量）？

最常见的假设类型是假设相对不重要的东西为零。.

在这种情况下，我们可以问：过滤器中出来的固体物流会包含任何水吗？当然，它可能会，但这个量与捕获的固体量和过滤的固体量相比可能非常小，前提是它定期清洁并设计良好。如果我们做出这个假设，那么 _这指定了废物流中水的质量分数为零_（或者等效地，固体的质量分数为一）。因此，我们知道一个额外的信息，并且整个系统的自由度变为零。

步骤 3：转换单位

此步骤应在 _自由度分析_ 之后进行，因为该分析与您的单位系统无关，如果您没有足够的信息来解决问题（或者更糟的是，您有太多信息），那么您不应该浪费时间转换单位，而应该将您的时间花在更精确地定义问题和/或寻找适当的假设上。

这里，最明智的选择是将所有内容转换为 cgs 系统或 m-kg-s 系统，因为大多数值已经是公制单位。这里，采用后者。

$r_{4}=8{\mbox{ in}}*{\frac {2.54{\mbox{ cm}}}{in}}*{\frac {1{\mbox{ m}}}{100{\mbox{ cm}}}}=0.2032{\mbox{ m}}$

${\rho }_{S}=1.54{\frac {g}{cm^{3}}}=1540{\frac {kg}{m^{3}}}$

现在所有内容都处于同一个系统中，我们可以继续下一步。

步骤 4：关联您的变量

首先，我们必须将给出的速度和面积与物流 4 的质量流率相关联，以便我们可以在物料衡算中实际使用该信息。从第 2 章，我们可以从以下公式开始

${\rho }_{n}*v_{n}*A_{n}={\dot {m}}_{n}$

由于管道是圆形的，圆形的面积为 $\pi *r^{2}$，我们有

$A_{4}=\pi *0.2032^{2}=0.1297{\mbox{ m}}^{2}$

因此，我们有

${\rho }_{4}*30*0.1297=3.8915*{\rho }_{4}={\dot {m}}_{4}$

现在，要找到流4的密度，我们假设体积是可加的，因为固体和水基本上是不可混溶的（橘子洗的时候会溶解吗？）。因此，我们可以使用理想流体模型来计算密度

${\frac {1}{\rho _{4}}}={\frac {x_{S4}}{\rho _{S}}}+{\frac {x_{W4}}{\rho _{W}}}={\frac {x_{S4}}{\rho _{S}}}+{\frac {1-x_{S4}}{\rho _{W}}}$

$={\frac {x_{S4}}{1540}}+{\frac {1-x_{S4}}{1000}}$

因此，我们得到了一个只包含浓度和质量流量的方程

方程1： ${\frac {x_{S4}}{1540}}+{\frac {1-x_{S4}}{1000}}={\frac {3.8915}{{\dot {m}}_{4}}}$

现在我们有了一个方程，但我们还没有用到两个（为什么是两个？）独立的质量平衡。当然，我们可以选择用哪两个。

在这个特定问题中，由于我们直接获得了关于流4（产物流）中固体数量的信息，所以对该组分进行平衡似乎更有意义。由于我们没有关于流2的信息，而且在这个情况下找到它毫无意义（它的所有部分都与流1相同），因此让我们对固体进行整体系统平衡

$\Sigma {\dot {m}}_{S,in}-\Sigma {\dot {m}}_{S,out}=0$

根据质量分数展开质量平衡

${\dot {m}}_{1}*x_{S1}={\dot {m}}_{3}*x_{S3}+{\dot {m}}_{4}*x_{S4}$

代入已知值，假设流3是纯固体（没有水），因此 $x_{S3}=1$

**方程式 2：** $0.2*{\dot {m}}_{1}=(0.9*0.2*{\dot {m}}_{1})*1+x_{S4}*{\dot {m}}_{4}$

最后，我们可以利用一个额外的质量平衡，我们选择最简单的：总质量平衡。这个方程式同样假设流出物 3 的总流量等于固体流量。

**方程式 3：** ${\dot {m}}_{1}=0.9*0.2*{\dot {m}}_{1}+{\dot {m}}_{4}$

现在我们有三个方程式，三个未知数 $({\dot {m}}_{1},{\dot {m}}_{4},x_{S4})$，因此问题可解。这里就需要用到之前学过的系统求解技巧。

如果你不喜欢手工解题，市面上有很多计算机程序可以帮助你解决这类方程式，例如 MATLAB、POLYMATH 等等。你可能需要学习你学校推荐使用的程序，为什么不现在就开始呢？

无论使用哪种方法，结果都是

${\dot {m}}_{1}=4786{\frac {kg}{s}}$

${\dot {m}}_{4}=3925.07$

$x_{S4}=0.0244$

我们快完成了，现在只需要计算一下每年的橙子数量。

$4786{\frac {kg}{s}}*1{\frac {orange}{0.4{\mbox{ kg}}}}*3600{\frac {s}{hr}}*8{\frac {wk{\mbox{ hr}}}{day}}*360{\frac {\mbox{wk day}}{year}}$

年产量：$1.24*10^{11}{\frac {oranges}{year}}$