化学工程过程导论/多组分问题求解

多组分操作的一般策略

关于进行多组分质量平衡最重要的一点是，对于每个组分，您可以编写一个独立的质量平衡方程。我所说的独立是什么意思？好吧，请记住，我们可以为任何稳态系统编写一般的整体质量平衡方程

$\Sigma {\dot {m}}_{in}-\Sigma {\dot {m}}_{out}=0$

我们还可以为流中的任何组分编写类似的质量平衡方程

$\Sigma {\dot {m}}_{a,in}-\Sigma {\dot {m}}_{a,out}+m_{a,gen}=0$

这看起来我们这里有三个方程，但实际上只有两个是独立的，因为

组分的质量总和等于总质量
由于反应引起的总质量生成始终为零（根据质量守恒定律）

因此，如果我们将所有组分的质量平衡加起来，我们将得到整体质量平衡。因此，我们可以选择我们想要的任何一组 n 个方程，其中 n 是组分的数量，但如果我们选择整体质量平衡作为其中之一，我们就不能使用其中一个组分的质量平衡。

使用哪些平衡取决于两个特定标准

您拥有关于哪个组分的信息最多；如果您没有足够的信息，您将无法解决您编写的方程。
您可以对哪个组分做出最合理的假设。例如，如果您有一个在低温和低压下涉及氧气和水的过程，您可以说液体流中没有溶解氧，因此它都通过另一条路径离开。如果您针对该组分编写质量平衡，这将大大简化代数运算。

单一操作中的多组分：乙醇和水的分离

示例:

假设包含乙醇和水（两种完全互溶的化合物）的物流以 100 kg/s 的速率流入蒸馏塔。有两股物流离开塔：蒸汽物流中乙醇的质量分数为 80%，塔底液物流中乙醇的浓度为 4M。总液物流流量为 20 kg/s。计算入口物流的组成。

按照分步方法可以使事情变得更容易。

步骤1：绘制流程图

第一步始终是绘制流程图，如前所述。如果您对该系统执行此操作，您可能会得到如下所示的结果，其中 x 表示质量分数，[A] 表示 A 的摩尔浓度，数字表示物流编号。

步骤2：单位换算

现在，我们需要将浓度转换为合适的单位。由于总流量以质量表示，因此以组分质量表示浓度的单位将最有用。蒸汽物流组成以质量百分比给出，这与流量单位配合良好。但是，以摩尔浓度给出的液相浓度对于求解乙醇（或水）的质量流量没有用。因此，我们必须将浓度转换为更有用的东西。

注意
浓度测量之间的转换

在浓度之间转换最简单的方法是仔细查看您想要和拥有的单位，并询问可以使用哪些物理性质（即摩尔质量、密度）来进行互换。在本例中，我们希望将摩尔浓度转换为质量分数。根据定义，我们有

$[A]={\frac {mol_{A}}{L_{sln}}}$

$x_{A}={\frac {m_{A}}{m_{sln}}}$

要转换分子，我们需要将 A 的摩尔数转换为 A 的质量，因此我们可以为此目的使用摩尔质量。类似地，要转换分母，我们需要将升转换为质量，这意味着我们将使用密度。因此，从摩尔浓度到质量分数的转换是

$x_{A}=[A]*{\frac {(MW)_{A}}{{\rho }_{SLN}}}$

由于我们有方法估计 ${\rho }_{SLN}$ （还记得它们吗？），我们可以相互转换这些浓度。

为了将摩尔浓度转换为质量分数，我们需要乙醇的分子量和4M乙醇溶液的密度。如果你知道乙醇的化学式，前者很容易计算： $CH_{3}CH_{2}OH$ 。根据化学课上学习的方法计算分子量，你应该得到大约 $46{\frac {g}{mol}}$ 。

计算密度本身就涉及到代入质量分数，所以你最终会得到一个隐式方程。回想一下，估计溶液密度的一种方法是假设溶液是理想的（在这种情况下它可能不是理想的，但如果没有数据可用或者我们只需要一个估计值，那么像这样的假设是我们仅有的选择，只要我们意识到这些值不会完全准确）。

${\frac {1}{{\rho }_{SLN}}}=\Sigma ({\frac {x_{k}}{{\rho }_{k}}})$

在这种情况下，则

${\frac {1}{{\rho }_{SLN}}}={\frac {x_{EtOH}}{{\rho }_{EtOH}}}+{\frac {x_{H2O}}{{\rho }_{H2O}}}$

我们可以查阅纯水和纯乙醇的密度，如下所示（来自维基百科的条目w:Ethanol和w:Water）

${\rho }_{EtOH}=0.789{\frac {g}{cm^{3}}}=789{\frac {g}{L}}$

${\rho }_{H2O}=1.00{\frac {g}{cm^{3}}}=1000{\frac {g}{L}}$

因此，由于质量分数之和为1，我们关于密度的方程变为

${\frac {1}{{\rho }_{sln}}}={\frac {x_{EtOH}}{789{\frac {g}{L}}}}+{\frac {1-x_{EtOH}}{1000{\frac {g}{L}}}}$

根据上面的注释，我们现在终于可以将摩尔浓度转换为质量分数，如下所示

$x_{EtOH}=[EtOH]*{\frac {(MW)_{EtOH}}{{\rho }_{SLN}}}=4{\frac {mol}{L}}*46{\frac {g}{mol}}*({\frac {x_{EtOH}}{789{\frac {g}{L}}}}+{\frac {1-x_{EtOH}}{1000{\frac {g}{L}}}})$

求解该方程得到

$x_{EtOH}=0.194$ （无量纲）

步骤 3：关联变量

由于我们正在寻找与质量流量相关的性质，因此我们需要用质量平衡来关联我们的变量。

请记住，我们可以对任何 N 个独立组分进行质量平衡，以及对总质量进行一个质量平衡，但由于各个组分的质量之和等于总质量，因此只有 $N-1$ 个这些方程是独立的。在数学上，选择总质量平衡和 $N-1$ 个单独的组分平衡通常是最简单的，因为您不需要处理总测量值的浓度。

由于我们的浓度现在处于适当的单位，因此我们可以进行任何两个质量平衡。让我们首先选择总质量平衡

${\dot {m}}_{1}-{\dot {m}}_{2}-{\dot {m}}_{3}=0$

代入已知值

${\dot {m}}_{2}=100{\frac {kg}{s}}-20{\frac {kg}{s}}$

${\dot {m}}_{2}=80{\frac {kg}{s}}$

现在我们知道了 ${\dot {m}}_{2}$ ，我们可以对乙醇或水进行质量平衡以找到进料流的组成。让我们选择乙醇（A）

${\dot {m}}_{A1}={\dot {m}}_{A2}+{\dot {m}}_{A3}$

用质量分数表示，则变为

$x_{A1}*{\dot {m}}_{1}=x_{A2}*{\dot {m}}_{2}+x_{A3}*{\dot {m}}_{3}$

代入我们已知的信息

$x_{A1}*100{\frac {kg}{s}}=0.8*80{\frac {kg}{s}}+0.194*20{\frac {kg}{s}}$

$x_{A1}=0.68$

因此，进料为 68% 乙醇和 32% 水。