数学物理导论/连续近似/守恒定律

守恒定律的积分形式

守恒定律\index{守恒定律} 是一个平衡，它可以应用于所考虑系统内所有严格内部的连通域，并且在运动过程中遵循。这样的定律可以写成：

eqcon

${\frac {d}{dt}}\int _{D}A_{i}dv+\int _{\partial D}\alpha _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}a_{i}dv$

符号 ${\frac {d}{dt}}$ 表示特定导数（参见附录 chapretour）。$A_{i}$ 是标量或张量\footnote{ $A_{i}$ 是数量 ${\mathcal {A}}$（质量、动量、能量...）的体积密度。下标 $i$ 符号设计所考虑张量的所有下标。} 欧拉变量 $x$ 和 $t$ 的函数。 $a_{i}$ 是系统外部提供的体积密度速率。 $\alpha _{ij}$ 是系统通过边界表面 $D$ 损失的表面密度速率。

守恒定律的局部形式

方程 eqcon 表示守恒定律的积分形式。与这种积分形式相关联的是现在要介绍的局部形式。如附录 chapretour 中所述，我们有以下关系

${\frac {d}{dt}}\int _{D}A_{i}dv=\int _{D}{\frac {d}{dt}}A_{i}dv$

众所周知

${\frac {dA_{i}}{dt}}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+(A_{i}u_{j})_{,j}$

格林公式允许将表面积分转换为体积分

$\int _{\partial D}\alpha _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}\alpha _{ij,j}dv$

因此最终方程式为

${\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+(A_{i}u_{j}+\alpha _{ij})_{,j}=a_{i}$

现在让我们介绍各种守恒定律。