数学物理导论/连续近似/能量守恒和热力学第一定律

第一定律的陈述

能量守恒定律对应于热力学第一定律（[#References|参考文献]）。\index{热力学第一定律}

定义

设 $S$ 是一个在 $R_{0}$ 中松弛的宏观系统。内能 $U$ 是所有粒子动能 $E_{cm}$ 和它们总的相互作用势能 $E_{p}$ 的总和。

$U=E_{cm}+E_{p}$

定义

设一个相对于 $R$ 运动的宏观系统。它具有宏观动能 $E_{c}$。总能量 $E_{tot}$ 是动能 $E_{c}$ 和内能 $U$ 的总和。\index{内能}

$E_{tot}=E_{c}+U$

原理

内能 $U$ 是一个状态函数\footnote{ 也就是说，基本变化 $dU$ 是一个全微分。 } 。总能量 $E_{tot}$ 只能通过与外部的交换而变化。

原理

在每个时刻，总能量 $E_{tot}$ 的偏导数（参见示例 exmppartder）是外部应变功率 $P_{e}$ 和系统接收的热量 ${\dot {Q}}$ \index{热量} 的总和。

${\frac {dE_{tot}}{dt}}=P_{e}+{\dot {Q}}$

这意味着

定理

对于一个封闭系统，$dE_{tot}=\delta W_{e}+\delta Q$

定理

如果宏观动能为零，那么

$dU=\delta W+\delta Q$

备注

能量守恒也可以通过对弗拉索夫方程取三阶矩来获得（参见方程 eqvlasov）。

第一性原理的推论

事实上，$U$ 是一个状态函数意味着

• $U$ 的变化不依赖于所遵循的路径，也就是说，$U$ 的变化只依赖于初始状态和最终状态。
• $dU$ 是一个全微分，可以应用施瓦茨定理。如果 $U$ 是两个变量 $x$ 和 $y$ 的函数，那么

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y\partial x}}$

让我们精确地说明动力学和热力学第一定律之间的关系。从动能定理

${\frac {dE_{c}}{dt}}=P_{e}+P_{i}$

因此，能量守恒也可以写成：

eint

${\frac {dU}{dt}}={\dot {Q}}-P_{i}$

系统建模包括评估 $E_{c}$，$P_{e}$ 和 $P_{i}$。功率 $P_{i}$ 通过关系 eint 与 $U$ 建模相关。