数学物理导论/连续逼近/习题

习题

考虑速度梯度（一阶梯度理论）的影响，给出描述薄板（厚度可忽略不计）动力学的方程。将结果与从守恒定律推导出的方法进行比较。

习题

与上一题相同的问题，但对象是一个固定在两面墙之间的绳子。

习题：

exoplasmapert

等离子体\index{plasma} 是由带电粒子（电子和离子）组成的。一个经典的等离子体模型是“双流体模型”：系统由两组函数描述，分别对应电子和离子，这些函数包括密度、速度和压强：集合 $n_{e},v_{e},p_{e}$ 描述了电子，集合 $n_{i},v_{i},p_{i}$ 描述了离子。电子的动量守恒方程为：

me

$n_{e}m_{e}({\frac {\partial v_{e}}{\partial t}}+({v}_{e}.\nabla v_{e}))=en_{e}\nabla \phi -en_{e}v_{e}\wedge B-\nabla p_{e}$

离子的动量守恒方程为：

mi

$n_{i}m_{i}({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+({v}_{i}.\nabla v_{i}))=-en_{i}\nabla \phi +en_{i}v_{i}\wedge B-\nabla p_{i}.$

求解这个非线性问题（找到解 $n_{i}({\vec {r}},t)$）假设

• $B$ 场沿着 $z$ 方向，因此定义了平行方向和垂直方向（垂直于 $B$ 场的平面）。
• 速度可以写成 $v_{a}={\tilde {v}}_{a}+v_{a}^{0}$，其中 $v_{i}^{0}=0$ 且 $v_{e}^{0}=-{\frac {k_{B}T_{e}\nabla _{x}n^{0}}{eBn^{0}}}e_{\theta }$.
• $E_{\perp }$ 场可以写成：$E_{\perp }=0+{\tilde {E}}_{\perp }$。
• 密度可以写成$n_{a}=n_{0}+{\tilde {n}}_{a}$。等离子体满足准中性条件\index{quasi-neutrality} : ${\tilde {n}}_{e}={\tilde {n}}_{i}={\tilde {n}}$。
• 气体被认为是理想气体：$p_{a}=n_{a}k_{B}T_{a}$。
• $T_{e}$，$T_{i}$ 具有他们在平衡状态下的值。