数学物理导论/连续近似/引言

存在几种方法来引入物质连续近似。它们是粒子平均问题的不同方法。第一种方法是从经典力学开始，并考虑对称为“流体元素”的基本体积进行平均。[[ 图像

 volele   
 | center | frame |Les moyennes sont faite dans la boite \'el\'ementaire de

体积 $d\tau$.}

figvolele

]] 让我们考虑一个以 $r$ 为中心，在时间 $t$ 的基本体积 $d\tau$。图 figvolele 说明了这种平均方法。与连续近似相关的量是通过在箱体尺寸趋于零时进行极限转换得到的。

因此，粒子密度是箱体体积趋于零时 $dn$（箱体中的粒子数）与 $d\tau$（箱体体积）之比的极限外推。

$n(r,t)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {dn}{d\tau }}$

同样，介质的平均速度定义为

$v(r,t)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {dv}{dn}}$

其中 $dv$ 是箱体中 $dn$ 个粒子的速度之和。

备注

从数学的角度来看，这种极限转换很难形式化。它是一种“物理学家极限”！

备注

请注意，粒子特性与平均特性之间的关系并不总是显而易见的。可能会发生粒子速度不为零，但其平均值为零。如果粒子发生热扰动（如果没有对流），就会出现这种情况。但也有可能单个粒子速度的时间平均值为零，而流体元素的速度不为零！图

figvitnonul illustrates this remark in the case of the drift

现象（[#参考文献

另一种方法是考虑一个粒子的分布函数 $f(r,p,t)$，该函数在部分

secdesccinet. Let us recall that ${\frac {1}{n!}}f(r,p,t)drdp$ represents

在时间 $t$ 找到一个粒子在相空间体积 $r,p$ 和 $r+dr,p+dp$ 之间的概率。 然后将各种流体量引入作为 $f$ 相对于速度的矩。 例如，粒子密度是 $f$ 的零阶矩。

$n(r,t)=\int f(r,p,t)dp$

也就是说，体积 $d\tau$ 中粒子的平均数量是

$dn=n(r,t)d\tau .$

流体速度与 $f$ 的一阶矩有关

$mv(r,t)=\int pf(p,r,t)dp$

本章的目的是介绍控制连续系统动力学的定律。 通常，这些定律可以写成 **守恒**

 laws}.