数学物理导论/连续近似/物质守恒

在方程eqcon中设置$A_{i}=\rho ={\frac {dm}{d\tau }}$，可得物质守恒方程

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}(\rho u)=0$

$\rho$称为体积质量。该定律可以通过使用基本流体体积的计算来证明。因此，体积$d\tau$中质量$M$的每时间单位变化与流出的质量流相反

${\frac {dM}{dt}}=-\int _{d\tau }\rho vdr$

因此，该方程的局部形式为

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}(\rho u)=0$

但该定律也可以通过计算弗拉索夫方程的一阶矩来证明（参见方程eqvlasov）。然后体积质量定义为分布函数乘以单个粒子的质量$m$的零阶矩

$\rho =m\int dpf(r,p,t)$

对弗拉索夫方程取一阶矩，得到

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho v)=0$

电荷守恒方程与质量守恒方程完全类似

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}{j}=0$

其中这里的$\rho$是体积电荷，而$j$是电流密度

$j=\rho v$

$j$穿过开放曲面$S$的流量通常被称为通过曲面$S$的电流。