数学物理导论/连续近似/动量守恒

我们假设这里外力由 $f$ 描述，内部应力由张量 $\tau _{ij}$ 描述。

${\frac {d}{dt}}\int _{D}\rho u_{i}dv+\int _{\partial D}\tau _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}f_{i}dv$

这个积分方程对应于对如图 figconsp 所示的流体微元体积应用牛顿运动定律\index{动量}。

动量守恒定律对应于对流体微元体积应用牛顿运动定律。}

figconsp

与这个积分方程相关的偏微分方程为

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u_{i})+(\rho u_{i}u_{j})_{,j}+\tau _{ij,j}=f_{i}$

利用连续性方程可得到

$\rho ({\frac {\partial }{\partial t}}u_{i}+u_{j}u_{i,j})+\tau _{ij,j}=f_{i}$

注意:动量守恒方程可以通过对Vlasov方程进行一阶矩运算来证明。流体动量 ${\bar {p}}$ 然后通过以下等式与分布函数相关

${\bar {p}}=\int pdpf(r,p,t)$

之后，流体动量简化为 $p$。