数学物理导论/连续近似/虚功原理

原理陈述

动量守恒定律是通过对与粒子相关的量的粒子平均值来引入的。远距离力被建模为力密度$f_{i}$，内部应变由二阶张量$\tau _{ij}$，等等。这种观点与牛顿运动定律直接相关。这里介绍了对偶观点：应变通过它们允许的运动来描述（[＃参考文献|参考文献]）。这种方式对应于我们的日常生活经验

• 想知道钱包是否沉重，就会把它举起来。
• 为了感受绳子的张力，会把它从平衡位置拉开。
• 推一辆车可以告诉我们刹车是否已开启。

应变现在通过它们由位移或变形产生的影响来评估。这种观点很有趣，因为它允许在第一种观点中定义不确定的应变，例如摩擦或结合应变。模型化的自由度仍然很大，因为模型化者始终可以选择允许的虚拟运动的大小。让我们通过陈述原理来阐明这些想法。

原理

加速度量的虚功等于施加于系统的所有应变的虚功之和，包括外部应变和内部应变

$\int \rho \gamma _{i}{\hat {u}}_{i}d\tau =P^{int}+P_{dist}^{ext}+P_{contact}^{ext}$

其中 $P^{int}$ 代表内部应变的功率，$P_{dist}^{ext}$，远距离外部应变，$P_{contact}^{ext}$ 接触外部应变。

在sepripuiva部分，展示了如何将偏微分方程组简化为变分系统：这可用于表明牛顿运动定律和虚功原理是同一条物理定律的对偶形式。

功率是通过给出空间$A$ 和 $E$ 来定义，其中 $A$ 是与 $E$ 相连的仿射空间

${\begin{array}{llll}P:&L(A,E)&\longrightarrow &R\\&u(r)&\longrightarrow &P(u(r))\end{array}}$

在seccasflu部分，我们将考虑一个例子，展示了虚功原理观点的力量。

sepripuiva

虚功和局部方程

局部公式（偏导数方程或 PDE）和虚功原理（所考虑的 PDE 问题的变分形式）之间的联系在示例中呈现。考虑以下问题

问题

寻找 $u$ 使得

$\partial _{j}\sigma _{i,j}(u)+f_{i}=0{\mbox{ in }}\Omega$

$u_{i}=0{\mbox{ on }}\Gamma _{1}$

$\sigma _{i,j}(u)n_{j}=0{\mbox{ on }}\Gamma _{2}$

其中 $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}=\partial \Omega$.

让我们引入双线性形式

$a(u,v)=\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(u)\epsilon _{i,j}(v)dx$

和线性形式

$L(v)=\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx$

可以证明存在一个空间 $V$ 使得存在一个唯一的解 $u$ 为

$\forall v\in V,a(u,v)=L(v)$

$a(u,v)$ 表示弹性固体变形在虚位移 $v$ 下对应的形变功，$u$ 为该形变对应的位移。 $L(v)$ 表示在虚位移 $v$ 下外力的功。因此，虚功率原理可以看作是伟大的守恒定律的结果：\begin{prin}虚功率原理 (静态情况)：实际位移 $u$ 是运动学上允许的位移，使得弹性固体在虚位移 $v$ 下的形变功等于外力的功，对于任何运动学上允许的虚位移 $v$ 均成立。\end{prin} 此外，由于 $a(.,.)$ 是对称的，解 $u$ 也是下式的最小值

$J(v)={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(v)\epsilon _{i,j}(v)dx-(\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx)$

$J(v)$ 是变形固体的势能，${\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(v)\epsilon _{i,j}(v)dx$ 是形变能。 $-(\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx)$ 是外力的势能。这个结果 ([#References|参考文献]) 可以表述如下：\begin{prin} 实际位移 $u$ 是所有允许位移 $v$ 中使势能 $J(v)$ 最小的位移。\end{prin}

seccasflu

流体情况

例如，考虑一个流体（[#References|参考文献]）。假设内部应变的功率可以用积分来描述

$P^{int}=\int (K_{i}{\hat {u}}_{i}+K_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

其中 $u_{i,j}$ 表示 $u_{i}$ 相对于坐标 $j$ 的导数。这个理论被称为一阶梯度理论。

备注

将功率表达为速度场 $u$ 的函数是建模的关键步骤。建模者拥有很大的自由度。功率是标量，它们可以通过使用速度向量场 $u_{i}$ 及其导数对张量的收缩来获得（参见附录 Chaptens）。在广义弹性中获得内部能量的方法类似（参见部分 Secelastigene）。

用 $a$ 和 $s$ 表示所考虑张量的反对称和对称部分，则可得：\index{张量} 

$P^{int}=\int (K_{i}{\hat {u}}_{i}+K_{ij}^{s}{\hat {u}}_{i,j}^{s}+K_{ij}^{a}{\hat {u}}_{i,j}^{a})dx$

其中需要注意，对称张量和反对称张量的交叉积为零\footnote{ 也就是说： $(a_{ij}+a_{ji})(b_{ij}-b_{ji})=0$. } 。选择均匀平移的参考系，可以证明项 $K_{i}$ 必须为零

$K_{i}=0$

反对称张量为零，因为运动是刚性的

$K_{ij}^{a}=0.$

最后，内部应变的表达式为：\index{应变}

$P^{int}=\int (K_{ij}^{s}{\hat {u}}_{i,j}^{s})dx$

$K_{ij}^{s}$ 称为应变张量，因为它描述了内部变形应变。 外部应变功率由以下公式模拟：

$P_{dist}^{ext}=\int (f_{i}{\hat {u}}_{i}+F_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

$F_{ij}$ 的对称部分可以解释为体积双力密度，其反对称部分可以解释为体积偶密度。 接触应变由以下公式模拟：

$P_{contact}^{ext}=\int (T_{i}{\hat {u}}_{i}+T_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

最后要解决的偏微分方程问题是

$f_{i}+\tau _{ij,j}=\rho \gamma _{i}{\mbox{ in }}V$

其中 $\tau _{ij}=K_{ij}^{s}-F_{ij}$

$T_{i}=\tau _{ij}n_{j},{\mbox{ sur }}\partial V$

$T_{ij}=0,{\mbox{ sur }}\partial V$

应力-变形张量

下一步是模拟内部应变，即明确张量 $K_{ij}$ 作为 $u_{i}$ 的函数的依赖关系。 这个问题在第 parenergint 章中进行了讨论。 这里让我们给出两种解决这个问题的方法的例子。

例子

对于理想气体，压强对体积为 $V$ 的系统的作用力功是

$\delta W=-pdV.$

状态方程（从微观理论推导出）

$pV=nk_{B}T$

用于将应力 $p$ 与形变 $dV$ 联系起来。

例子

弹性理论（见第 parenergint 章）允许将应力张量 $\tau _{ij}$ 与形变张量 $\epsilon _{ij}$ 联系起来。