数学物理导论/微分和导数

定义

定义

令 $E$ 和 $F$ 为两个在 $R$ 或 $C$ 上的两个赋范向量空间，以及 $f$ 是一个定义在 $E$ 的一个开子集 $U$ 到 $F$ 的映射。如果存在一个从 $E$ 到 $F$ 的连续线性映射 $g$ ，使得 $\|f(x)-f(x_{0})-g(x-x_{0})\|$ 相对于 $\|x-x_{0}\|$ 可以忽略不计，则称 $f$ 在 $U$ 的点 $x_{0}$ 处可微。

导数的概念没有那么普遍，通常是针对 $R$ 的一部分到向量空间的函数定义如下：

定义

令 $I$ 是 $R$ 中不同于一个点的区间，并且 $E$ 是 $R$ 上的赋范向量空间。从 $I$ 到 $E$ 的映射 $f$ 在 $I$ 的点 $x$ 处可导，如果比率

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

当 $h$ 趋于零时，存在极限。这个极限被称为 $f$ 在点 $x$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x)$。

然而，在本附录中，我们将看到导数的一些推广。

分布意义下的导数

定义

通常意义下的函数导数对于非连续函数没有定义。分布理论允许我们将经典导数概念推广到非连续函数。

定义

分布 $T$ 的导数是分布 $T'$，定义如下：

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<T'|\phi >=-<T|\phi '>$

定义

令 $f$ 为可和函数。假设 $f$ 在 $N$ 个点 $a_{i}$ 处不连续，并记 $\sigma _{a_{i}}=f(a_{i}^{+})-f(a_{i}^{-})$ 为 $f$ 在 $a_{i}$ 处的跳跃。假设 $f'$ 是局部可和的，并且几乎处处定义。它定义了一个分布 $T_{f'}$。与 $f$ 相关的分布的导数 $(T_{f})'$ 是

$(T_{f})'=T_{f'}+\sum \sigma _{a_{i}}\delta _{a_{i}}$

也就是说，分布意义上的导数等于没有预防措施的导数加上狄拉克分布乘以 $f$ 的跳跃。可以注意到

$f'=\{f'\}+\sum \sigma _{a_{i}}\delta _{a_{i}}$

多变量分布的情况

secdisplu

使用没有预防措施的导数，微分算子的分布意义上的作用可以写成，在它们作用的函数在曲面 $S$ 上不连续的情况下

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=\{{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\}+n_{i}\sigma _{f}\delta _{S}$

${\mbox{ grad }}f=\{{\mbox{ grad }}f\}+n\sigma _{f}\delta _{S}$

${\mbox{ div }}a=\{{\mbox{ div }}f\}+n\sigma _{a}\delta _{S}$

${\mbox{ rot }}a=\{{\mbox{ rot }}f\}+n\wedge \sigma _{a}\delta _{S}$

其中 $f$ 是一个标量函数，$a$ 是一个向量函数，$\sigma$ 表示 $a$ 或 $f$ 穿过曲面 $S$ 的跃变，而 $\delta _{S}$ 是曲面狄拉克分布。这些公式有助于展示张量中引入的格林函数。微分算子的几何含义将在下一附录 chaptens 中讨论。

例子： 电磁学 电磁学的基石是麦克斯韦方程组：\index{passage relation}

${\mbox{ rot }}E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

${\mbox{ rot }}H=j+{\frac {\partial D}{\partial t}}$

${\mbox{ div }}D=\rho$

${\mbox{ div }}B=0$

在分布意义上也是成立的。在电磁学书籍中，通常有一章专门研究边界条件和传递条件。利用分布，可以将这种情况视为一般方程的特例。例如，考虑由以下公式定义的电荷分布：

$\rho =\rho _{v}+\rho _{s}$

其中 $\rho _{v}$ 是体积电荷密度，$\rho _{s}$ 是表面电荷密度，电流分布由以下公式定义：

$j=j_{v}+j_{s}$

其中 $j_{v}$ 是体积电流密度，$j_{s}$ 是表面电流密度。利用 secdisplu 部分的公式，可以得到以下传递关系：

${\begin{matrix}n_{12}\wedge (E_{2}-E_{1})&=&0\\n_{12}\wedge (H_{2}-H_{1})&=&j_{s}\\n_{12}(D_{2}-D_{1})&=&\rho _{s}\\n_{12}(B_{2}-B_{1})&=&0\end{matrix}}$

其中，Delta 表面分布 $\delta _{s}$ 的系数已被确定（参见 ([#References

示例： 电路

由于麦克斯韦方程在分布意义上是成立的（参见前面的例子），电学方程也在分布意义上是成立的。分布理论可以证明一些在电学课程中无法证明的断言。考虑以下方程

$U(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri$

这个方程意味着，即使 $U$ 不连续，$i$ 也是连续的。实际上，如果 $i$ 不连续，导数 ${\frac {di}{dt}}$ 将在右边的第二项中产生狄拉克分布。考虑以下方程

$i={\frac {dq}{dt}}$

这个方程意味着，即使 $i$ 不连续，$q(t)$ 也是连续的。

示例： 流体力学 守恒定律在分布意义上是成立的。利用分布导数，可以立即获得所谓的“不连续”关系 ([#References

随机过程的微分

secstoch

当人们谈论随机\index{随机过程}过程（[#References|参考文献]）时，就加入了时间概念。再次以骰子为例，如果我们重复实验$N$次，则可能结果的数目为$\Omega '=6^{N}$（集合$\Omega$的大小随$N$呈指数级增长）。我们可以利用这个$\Omega '$定义一个概率$P'$。因此，从第一个随机变量$X$，我们可以定义另一个随机变量$X_{t}$

定义

令$X$为一个随机变量\index{随机变量}。随机过程（与$X$相关）是$X$和$t$的函数。

$X_{t}$被称为$X$的随机函数或

随机过程。通常情况下，概率$P(X_{t}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}{\mbox{ at }}t_{i})$取决于$X_{t}$在$t_{i}$之前的值的历史。我们定义条件概率$P(X_{t=t_{i}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t\leq t_{i}})$为$X_{t}$在时间$t_{i}$取值在$x$和$x+dx$之间的概率，前提是已知$X_{t}$在时间$t_{i}$之前的值（或$X_{t}$的“历史”)。马尔可夫过程是一种随机过程，其具有以下性质：对于任意一组连续的时间$t_{1},\dots ,t_{n}$，我们有

$P_{1|n-1}(X_{t=t_{n}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t_{1}}\dots X_{t_{n}})=P_{1|1}(X_{t=t_{n}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t_{n-1}})$

$P_{i|j}$ 表示在已知 $j$ 个先验事件发生的情况下，$i$ 个条件满足的概率。换句话说，$X_{t}$ 在时间 $t_{n}$ 的期望值只取决于 $X_{t}$ 在前一时间 $t_{n-1}$ 的值。它由转移矩阵 $P_{1}$ 和 $P_{1|1}$ 定义（或等效地由转移密度函数 $f_{1}(x,t)$ 和 $f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})$ 定义）。可以看出（[#References|参考文献]）两个函数 $f_{1}$ 和 $f_{1|1}$ 定义了一个马尔可夫\index{马尔可夫过程}过程，当且仅当它们满足以下条件：

• 查普曼-科尔莫哥洛夫方程\index{查普曼-科尔莫哥洛夫方程}

$f_{1|1}(x_{3},t_{3})=\int f_{1|1}(x_{3},t_{3}|x_{2},t_{2})f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})dx_{2}$

eqnecmar

$f_{1}(x_{2},t_{2})=\int f_{1|1}(y_{2},t_{2}|y_{1},t_{1})f_{1}(y_{1},t_{1})dx_{1}$

维纳过程\index{维纳过程}\index{布朗运动}（或布朗运动）是一个马尔可夫过程，其满足以下条件：

$f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi (t_{2}-t_{1})}}}e^{-{\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}}$

使用公式 eqnecmar，得到

$f_{1}(x,t)={\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}}{2t}}}$

由于随机过程被定义为随机变量和时间的函数，一大类\footnote{然而，这个定义排除了泊松过程等不连续情况}随机过程可以被定义为布朗运动（或维纳过程）$W_{t}$的函数。这是我们对随机过程的第二个定义。

定义

设$W_{t}$为布朗运动。随机过程是$W_{t}$和$t$的函数。

例如，股票时间演化的模型（[#References|references]）是

$X_{t}=e^{(\sigma W_{t}+(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t)}$

一个随机微分方程

$dX_{t}=a(t,X_{t})dt+b(t,X_{t})dW_{t}$

给出了随机过程的隐式定义。关于布朗运动变量$W_{t}$的微分规则不同于关于普通时间变量的微分规则。它们由伊藤公式\index{伊藤公式}给出（[#References|references]）。为了理解牛顿函数和随机函数微分之间的差异，考虑函数$f(W_{t})$的泰勒展开，直到二阶

$f(W_{t}+dW_{t})-f(W_{t})=f^{'}(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f^{''}(W_{t})(dW_{t})^{2}+\dots$

通常（对于牛顿函数），微分 $df(W_{t})$ 仅仅是 $f^{'}(W_{t})dW_{t}$。但是，对于随机过程 $f(W_{t})$，二阶项 ${\frac {1}{2}}f^{''}(W_{t})(dW_{t})^{2}$ 就不再可以忽略。事实上，正如利用布朗运动的性质可以看出，我们有

$\int _{0}^{t}(dW_{s})^{2}=t$

或者

$(dW_{t})^{2}=dt.$

图 figbrown 说明了随机过程（图中的简单布朗运动）和可微函数之间的差异。布朗运动在逐步放大下具有自相似结构。\begin{figure} \begin{tabular}[t]{c c}

\epsffile{b0_3} \epsffile{n0_3}

\epsffile{b0_4} \epsffile{n0_4}

\epsffile{b0_5} \epsffile{n0_5} \end{tabular} | center | frame |布朗运动和可微函数的逐步放大对比}

figbrown

]]

这里我们只提及用计算机积分随机过程的最基本方案。考虑时间积分问题

$dX_{t}=a(t,X_{t})dt+b(t,X_{t})dW_{t}$

初始值为

$X_{t_{0}}=X_{0}$

解决上述问题最基本的方法是使用欧拉（或欧拉-丸山）方法。该方案满足以下迭代方案

$X_{n+1}=X_{n}+a(\tau _{n},Y_{n})(\tau _{n+1}-\tau _{n})+b(\tau _{n},Y_{n})(W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}})$

更复杂的方法可以在 ([#References|参考文献]) 中找到。

泛函导数

设 $(\phi )$ 为泛函。为了计算泛函 $I(\phi )$ 的微分 $dI(\phi )$，我们将差 $I(\phi +d\phi )-I(\phi )$ 表示为 $d\phi$ 的泛函。

函数 $I$ 的 *泛函导数* 记作 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}$ ，由极限给出

${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\partial I}{\partial \phi _{i}}}$

其中 $a$ 是实数，且 $\phi _{i}=\phi (ia)$.

以下是一些例子：

示例

如果 $I(\phi )=\int f(y)\phi ^{p}(y)dy$ 则 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=pf(x)\phi ^{p-1}(x)$

示例

如果 $I(\phi )=\int V(\phi (y))dy$ 则 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=V^{\prime }(\phi (x))$.

章节标题

不同点张量值的比较

函数关于 x=a 的级数展开

定义

函数 $f$ 在 $x=a$ 附近，如果存在数字 $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ 使得

$f(a+h)=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{k}h^{k}+h^{n}\epsilon (h)$

其中 $\epsilon (h)$ 当 $h$ 趋于零时趋于零。

定理

如果一个函数在 $a$ 可导 $n$ 次，则它在 $x=a$ 附近存在 $n$ 阶的级数展开，它由泰勒-杨公式给出

$f(a+h)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}f^{(k)}(a)h^{k}+h^{n}\epsilon (h)$

其中 $\epsilon (h)$ 当 $h$ 趋于零时趋于零，并且 $f^{(k)}(a)$ 是 $f$ 在 $x=a$ 的 $k$ 阶导数。

注意定理的逆命题是错误的：$f(x)={\frac {1}{x^{3}}}\sin(x)$ 是一个函数，它在零点附近存在 2 阶展开，但不能二阶可导。

secderico

非客观量

考虑坐标为 $x^{i}$ 和 $x^{i}+dx^{i}$ 的两点 $M$ 和 $M'$。在物理学中经常考虑的第一变分是：

eqapdai

$d(a^{i}e_{i})={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}$

非客观变分是

$da^{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

需要注意的是，$da^{i}$ 不是一个张量，公式 eqapdai 假设 $e_{i}$ 在点 $M$ 和点 $M'$ 之间没有变化。它不遵守张量变换关系。这就是为什么它被称为非客观变化。下一节介绍了一个允许定义张量的客观变化：它考虑了基矢的变化。

exmpderr

例子： 拉格朗日速度： 编号为 $a$ 的粒子的拉格朗日运动描述，是由它在每个时间 $t$ 的位置 $r_{a}$ 给出的。如果

$r_{a}(t)=x^{i}(t)e_{i}$

那么拉格朗日速度是

${\frac {dr_{a}}{dt}}={\frac {dx^{i}}{dt}}e_{i}$

在例子 exmpderr 中介绍的导数不是客观的，这意味着它不随轴的变化而保持不变。特别地，我们有著名的向量导数公式：

eqvectderfor

${\frac {dA}{dt}}_{R}={\frac {dA}{dt}}_{R_{1}}+\omega _{R_{1}/R}\wedge A$

示例

流体的欧拉描述由 “欧拉” $v(x,t)$ 速度场和初始条件给出，使得

$x=r_{a}(0)$

其中 $r_{a}$ 是粒子的拉格朗日位置，并且

$v(x,t)={\frac {dr_{a}}{dt}}.$

欧拉描述和拉格朗日描述是等价的。

示例

让我们考虑速度场 $u$ 在时间 $t$ 时，两个位置之间的变化。如果速度场 $u$ 是可微分的，则存在一个线性映射 $K$ 使得：

eqchampudif

$u_{i}({\vec {r}}+d{\vec {r}})-u_{i}({\vec {r}})=K.\delta {\vec {r}}_{j}+O(||{\vec {r}}||)$

$K_{ij}=u_{i,j}$ 被称为速度场梯度张量。张量 $K$ 可以分成一个对称部分和一个反对称部分

$K=\left({\begin{array}{ccc}e_{11}&e_{12}&e_{13}\\e_{21}&e_{22}&e_{23}\\e_{31}&e_{32}&e_{33}\\\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}0&-s_{3}&s_{2}\\.&0&-s_{1}\\.&.&0\\\end{array}}\right)$

对称部分被称为膨胀张量，反对称部分被称为旋转张量。现在，$u_{i}({\vec {r}}+d{\vec {r}})-u_{i}({\vec {r}})={\frac {d\delta {\vec {r}}}{dt}}$。因此，使用方程式 eqchampudif

${\frac {d\delta {\vec {r}}}{dt}}=K\delta {\vec {r}}$

此结果对向量 $\delta {\vec {r}}$ 成立，也对任何向量 ${\vec {a}}$ 成立。最后一个方程式表明

• 跟随运动的粒子附近的基本体积 $dv$ 对时间的导数是\footnote{ 确实

$d(\delta v)=d(\delta x)\delta y\delta z+d(\delta y)\delta x\delta z+d(\delta z)\delta x\delta y$

体积增量的等式形式

${\frac {d(\delta v)}{dt}}={\mbox{ div }}u\delta v$

} 

${\frac {d(dv)}{dt}}={\mbox{ div }}udv$

• 固体的速度场是反对称的。

偏导数的例子

例子： 张量的偏导数： 偏导数是定义在一组粒子上的量的随时间变化率，这些粒子在运动过程中被追踪。 当使用拉格朗日变量时，它可以被识别为相对于时间的偏导数（[#References

以下性质可以被证明（[#References|references]): \begin{prop} 让我们考虑积分

$I=\int _{V}\omega$

其中 $V$ 是一个维数为 $p$ 的连通流形（体积，表面...），它在运动过程中被追踪，而 $\omega$ 是一个以欧拉变量表示的 p 次微分形式。 $I$ 的偏导数验证

${\frac {d}{dt}}\int _{V}\omega =\int _{V}{\frac {d\omega }{dt}}$

\end{prop} 这个结果的证明可以在（[#References|references）中找到。

示例

考虑积分

$I=\int _{V}C(x,t)dv$

其中 $D$ 是一个在运动过程中被追踪的有界连通域，$C$ 是一个在 $D$ 的闭包中连续且在 $D$ 中可微的标量值函数。 $I$ 的偏导数是

${\frac {dI}{dt}}=\int _{D}\{{\frac {\partial C}{\partial t}}+{\mbox{ div }}(C{\vec {u}})\}dv,$

根据公式 eqformvol

${\frac {d}{dt}}(dv)={\mbox{ div }}{\vec {u}}dv.$

secandericov

协变导数

在本节中，我们将介绍一个与所考虑参考系无关的导数（客观导数）。考虑量 $a$ 在两个点 $M$ 和 $M'$ 的差异。

$da=a(M')-a(M)=da^{i}e_{i}+a^{i}de_{i}$

如第 secderico 节所述

$da^{i}e_{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}$

变化 $de_{i}$ 与 $e_{j}$ 通过切线应用线性相关

$de_{i}=d\omega _{i}^{j}e_{j}$

旋转向量与位移线性相关：

eqchr

$de_{i}=\Gamma _{ik}^{j}dx^{k}e_{j}$

符号 $\Gamma _{ik}^{j}$，称为克里斯托费尔符号，不是 张量。它们连接了空间在 $M$ 的性质及其在点 $M'$ 的性质。通过在公式 eqchr 中改变索引：

eqcovdiff

$da^{i}e_{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}dx^{j}e_{i}$

由于 $x^{j}$ 是独立变量

定义

逆变向量 $a^{i}$ 的协变导数为

eqdefdercov

${\frac {Da^{i}}{Dx^{j}}}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}$

因此，微分可以表示为

$da^{i}={\frac {Da^{i}}{Dx^{j}}}dx^{j},$

这是微分的推广

$da_{i}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

当没有坐标变换时，该公式可推广到张量。

备注

对于计算第

secderico the $x^{j}$ are the coordinates of the point, but the quantity

节中给出的偏导数，也取决于时间。这就是公式 eqformalder 中出现 ${\frac {\partial x^{j}}{\partial t}}$ 项，而在公式

eqdefdercov. 

备注

从公式 eqdefdercov，可以得到公式

eqvectderfor can be recovered when: 

$de_{i}=\omega _{i}^{j}dte_{j}$

备注

在具有度量的空间中，$\Gamma _{kj}^{i}$ 是度量张量 $g^{ij}$ 的函数。

协变微分算子

可以定义以下具有张量性质的微分算子

• 标量的梯度
  $a={\mbox{ grad }}V$
  其中 $a_{i}={\frac {\partial V}{\partial x^{i}}}$.
• 向量的旋度
  $b={\mbox{ rot }}a_{i}$
  其中 $b_{ik}={\frac {\partial a_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{k}}}$。旋度的张量性可以使用协变导数的张量性来证明
  ${\frac {\partial a_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{k}}}={\frac {Da_{k}}{Dx^{i}}}-{\frac {Da_{i}}{Dx^{k}}}$
• 逆变密度的散度
  $d={\mbox{ div }}a^{i}$
  其中 $d={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{i}}}$.

有关可以在张量上定义的算子的更多详细信息，请参见

([#References|references]). 

在正交欧几里得空间中，有以下关系

${\mbox{ rot }}({\mbox{ grad }}\phi )=0$

和

${\mbox{ div }}({\mbox{ rot }}(a))=0$

$\nabla \wedge (\nabla \wedge c)=\nabla (\nabla .c)-\nabla ^{2}a$