数学物理学导论/拓扑空间的对偶

定义

定义

设 $E$ 是拓扑向量空间。集合 $E^{\prime }$ 是 $E$ 上的连续线性形式的向量子空间，称为 $E$ 的拓扑对偶。

分布

chapdistr

分布\index{distribution} 可以用优雅且简洁的方式描述许多物理现象。它们可以描述静电中的电荷“分布”（如点电荷、偶极电荷）。它们还可以将导数的概念推广到不连续的函数。

定义

L. Schwartz 分布是 ${\mathcal {D}}$ 上的连续线性泛函，因此是 ${\mathcal {D}}$ 的对偶 ${\mathcal {D}}'$ 的元素。

定义

如果一个函数在任何有界区间上都是 Lebesgue 可积的，则称该函数是局部可和的。

定义

对于任何局部可和函数 $f$，可以关联一个分布 $T_{f}$，定义为

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<T_{f}|\phi >=\int f(x)\phi (x)dx$

可以关联。

定义

狄拉克分布\index{Dirac distribution}，记为 $\delta$，定义为

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<\delta |\phi >=\phi (0)$

备注

物理学家经常使用（不正确的！）积分符号

$\int \delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$

来描述狄拉克分布 $\delta$ 对函数 $\phi$ 的作用。

卷积是两个函数 $f$ 和 $g$ 的运算结果，如果存在，则表示为函数 $h$，其定义如下：

$h(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(u)g(x-u)du$

并记为

$h=f*g.$

两个分布 $S$ 和 $T$ 的卷积运算结果 (如果存在) 是一个记为 $S*T$ 的分布，其定义如下：

$\forall \phi (x)\in {\mathcal {D}},<S*T,\phi >=<S(x)T(y),\phi (x+y)>$

以下是卷积运算的一些结果：

• 与 $\delta$ 进行卷积运算相当于单位运算。
• 与 $\delta ^{\prime }$ 进行卷积运算相当于求导运算。
• 与 $\delta ^{(m)}$ 进行卷积运算相当于求 m 阶导数。
• 与 $\delta (x-a)$ 进行卷积运算相当于将函数进行 a 位平移。

函数的傅里叶变换的概念可以推广到分布。首先回顾函数的傅里叶变换的定义。

定义

设 $f(x)$ 是实变量 $x$ 的复数值函数\index{傅里叶变换}。 $f(x)$ 的傅里叶变换是实变量 $\sigma$\sigma 的复数值函数 ${\hat {f}}(\sigma )<math>ofrealvariable$\sigma</math>，其定义如下：

${\hat {f}}(\sigma )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i2\pi \sigma x}dx,$

如果存在。

傅里叶变换存在的充分条件是 $f(x)$ 是可和的。傅里叶变换可以反转：如果

${\hat {f}}(\sigma )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i2\pi \sigma x}dx,$

那么

$f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\sigma )e^{i2\pi \sigma x}dx,$

以下是一些有用的公式

$f(-x)\rightarrow {\hat {f}}(-\sigma )$

${\bar {f}}(x)\rightarrow {\bar {\hat {f}}}(-\sigma )$

$f(x-a)\rightarrow e^{-2i\pi \sigma a}{\hat {f}}(\sigma )$

$f(ax)\rightarrow {\frac {1}{a}}{\hat {f}}({\frac {\sigma }{a}})$

$f'(x)\rightarrow 2i\pi \sigma {\hat {f}}(\sigma )$

$f\ast g\rightarrow {\hat {f}}{\hat {g}}$

现在让我们将傅里叶变换的概念推广到分布。分布的傅里叶变换不能通过以下公式定义：

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<{\hat {T}}|\phi >=<T|{\hat {\phi }}>$

事实上，如果 $\phi \in {\mathcal {D}}$，那么 $\phi \notin {\mathcal {D}}$，上述等式的第二项不存在。

定义

空间 ${\mathcal {S}}$ 是快速衰减函数的空间。更准确地说，$\phi \in {\mathcal {S}}$ 如果

• 它的 $m-$导数 $\phi ^{(m)}(x)$ 对任何正整数 $m$ 存在。
• 对于所有正整数或零整数 $p$ 和 $m$，$x^{p}\phi ^{(m)}(x)$ 是有界的。

定义

缓增分布 $T$ 的傅里叶变换是分布 ${\hat {T}}$，定义为

$\forall \phi \in {\mathcal {S}},<{\hat {T}}|\phi >=<T|{\hat {\phi }}>$

狄拉克分布的傅里叶变换是 1

$\delta (x)\rightarrow 1(x)$

分布\index{distribution} 可以用优雅且简洁的方式描述许多物理现象。它们可以描述静电中的电荷“分布”（如点电荷、偶极电荷）。它们还可以将导数的概念推广到不连续的函数。

统计描述

随机变量

分布理论将函数概念推广到描述 \index{随机变量} 物理学中非常常见的物体（点电荷、不连续面等）。随机变量也描述了物理学中非常常见的物体。正如我们将看到的，分布可以帮助描述随机变量。在 secstoch 部分，我们将介绍随机过程，这是无处可微的数学特征。

设 $B$ 是集合 $\Omega$ 中 “结果” $\omega$ 的一个部落。事件是 $B$ 的一个元素，即一组 $\omega$。概率 $P$ 是部落 $B$ 的一个正测度。从 0 到 6 编 号 的骰 子 面 可 以 被 视 为 集 合 $\Omega =\{\omega _{1},\dots ,\omega _{6}\}$ 的 结果。随机变量 $X$ 是从 $\Omega$ 到 $R$（或 $C$）的一个映射。例如，可以将骰子实验的每个结果 $\omega$ 关联到一个等于其上面写着的数字的数字。这个数字就是一个随机变量。

概率密度

分布理论为描述统计“分布”提供了合适的框架。设 $X$ 是一个在 $R$ 中取值的随机变量。

定义

概率密度函数 $f(x)$ 使得

$P(X\in {\mathrel {]}}x,x+dx{\mathrel {]}})=f(x)dx$

它满足：$\int f(x)dx=1$

例子

伯努利过程的概率密度函数为

$f(x)=p\delta (x)+q\delta (x-1)$

划分函数的矩

通常，函数$f(x)$ 由其矩来描述

定义

函数$f(x)$ 的$p^{th}$ 矩是积分

$m_{p}=\int x^{p}f(x)dx$

定义

随机变量的均值或数学期望是矩$m_{1}$

定义

方差$v$ 是二阶矩

$v=\sigma ^{2}=\int (x-m_{1})^{2}f(x)dx$

方差的平方根称为离差，记作$\sigma$.

生成函数

定义

概率密度$f$ 的生成函数\index{生成函数} 是$f$ 的傅里叶变换。

例子

对于伯努利分布

${\hat {f}}(\nu )=p+qe^{-2i\pi \nu }$

傅里叶变换的性质

${\hat {f}}^{(p)}(\nu )=\int (-2i\pi x)^{p}f(x)e^{-2i\pi \nu x}$

意味着

$m_{p}={\frac {1}{(-2i\pi )^{p}}}{\hat {f}}^{(p)}(0)$

随机变量的和

定理

两个**独立**随机变量之和$x=x_{1}+x_{2}$ 的密度概率$f_{x}$ 是密度概率$f_{x_{1}}$ 和 $f_{x_{2}}$ 的卷积积。

我们这里不提供这个定理的证明，但读者可以通过以下例子理解卷积是如何出现的。两个随机变量的和可以取$i,\dots ,N$ 的值，其中$N>n$，其概率为 $n$，考虑所有可能的情况

$P_{(x=n)}=P_{(x_{1}=0)}P_{(x_{2}=n)}+P_{(x_{1}=1)}P_{(x_{2}=n-1)}+\dots +P_{(x_{1}=0)}P_{(x_{2}=n)}$

这可以用来证明与二项式定律相关的密度概率。利用先前定理的傅里叶对应物

${\begin{matrix}{\hat {f}}(\nu )&=&(p+qe^{-2i\pi \nu })^{n}\\&=&\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{n-k}q^{k}e^{-2i\pi \nu k}\end{matrix}}$

所以

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{n-k}q^{k}\delta (x-k)$

我们来陈述中心极限定理。

定理

大量函数的卷积积趋于\footnote{ 这里使用的极限概念没有明确说明，因为这个结果在这本书中不会被进一步使用。} 高斯函数。 \index{中心极限定理}

$[f(x)]^{*n}\longrightarrow {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi n}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2n\sigma ^{2}}}}$

证明

让我们快速粗略地证明这个定理。假设 ${\hat {f}}(\nu )$ 在零点附近有以下泰勒展开式

${\hat {f}}(\nu )={\hat {f}}(0)+\nu {\hat {f}}^{\prime }(0)+{\frac {\nu ^{2}}{2}}{\hat {f}}^{\prime \prime }(0)$

并且当 $p\geq 3$ 时，矩 $m_{p}$ 为零。然后使用矩的定义

${\hat {f}}(\nu )=m_{0}+\nu (-2i\pi )m_{1}+{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2}$

这表明使用 $m_{0}=1$ ，

$\ln(({\hat {f}}(\nu ))^{n})=n\ln(1-2i\pi \nu m_{1}-{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2})$

泰勒展开式给出

$\ln(({\hat {f}}(\nu ))^{n})\sim n(-2i\pi \nu m_{1}-{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2})$

最后，反傅里叶变换

$({\hat {f}}(\nu ))^{*n}\sim \delta (x-nm_{1})*{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi n}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2n\sigma ^{2}}}}$